3-3走向高考数学章节

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1、考纲解读1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．考向预测以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．知识梳理1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]的函数y＝f(x)，将[a，b]区间分成n份，分点为：a＝x0

2、xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(η1)Δx1＋f(η2)Δx2＋…＋f(ηi)Δxi＋…＋f(ηn)Δxn.其中∫叫做积分号，a叫作，b叫作，f(x)叫作．积分下限积分上限被积函数3．定积分的运算性质5．利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．求被积函数的原函数6．定积分在几何中的应用7．定积分在物理中的应用(1)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝。(2)变力作功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向

3、从x＝a移动到x＝b(a

4、0和0～t1之间与x轴围成面积都大，故在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．[答案]B[答案]1[分析]对于(1)(2)，可首先找出一个原函数，然后利用微积分基本定理求解；(3)为分段函数，在[0,3]上的积分可分成几段积分的和的形式．[点评](1)求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数F(x)，即满足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．(2)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．(3)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．[分析]先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积

5、分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．[点评](1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质．①有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，[例2]利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．[分析]先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示：S＝A1＋A2.[分析]需根据面积求出切点坐标．这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的

6、定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决．[解析]如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x02.[点评]求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出曲线交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.[分析]从上图可以看出物体在0≤t≤1时做加速运动，1≤t≤3时做匀速运动，3≤t≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t≤6时，v(

7、t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积．[点评]用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能稍微复杂些，因此在运算过程中一定要细心，不要出现计算上的错误．定积分在物理中的应用主要有两个方面：一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t