2-3走向高考数学章节

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1、考纲解读1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．考向预测1．函数的奇偶性是函数的一个重要性质，为高考中的必考知识点．2．常与函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考查．知识梳理1．函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(x)满足图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(x)满足当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇函数．f(－x)＝－f(x)．偶函数．f(－x)＝f(x)．奇偶性．2．周期函数的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内

2、的值时，都有，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的如果所有的周期中存在一个，那么这个就叫f(x)的最小正周期．(2)周期函数有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈Z，k≠0)也一定是f(x)的周期．每一个f(x＋T)＝f(x)周期．最小的正数最小正数不一定则f(x)是函数，是它的一个周期(上述式子分母不为零)．周期2a[答案]A2．(教材改编题)下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A．1B．2C．

3、3D．4[答案]A[答案]A[解析]由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0.又定义域为[a－1,2a]，[答案]C5．(2010·江西文)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0[答案]－2[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递减，若f(3－m)≤f(2m2)，求实数m的取值范围．[解析]∵f(x)是定义在

4、[－2,2]上的奇函数，且在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,2]上单调递减，∴f(3－m)≤f(2m2)等价于[点评]第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数．第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断．第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图像判断．[例3](2011·东营模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上是偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1

5、)，则f(－2011)＋f(2012)的值为()A．－2B．－1C．1D．2[解析]考查函数的奇偶性和周期性．因为f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－2011)＝f(2011)，又因为x≥0时，有f(x＋2)＝f(x)，所以在[0，＋∞)上f(x)的周期为2，所以f(－2011)＋f(2012)＝f(2011)＋f(2012)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝1.[答案]C(2011·清华附中月考)定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且满足对任意的x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)，f(2－x)＝f(x)，现给出下列5个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)的图像关于

6、x＝1对称；③f(x)是周期函数；④f(x)是单调函数；⑤f(x)有最大值和最小值．其中正确的结论是________．[答案]①②③1．判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数y＝x2(x∈(－1,1])并不具备奇偶性．因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称．函数奇偶性的判定方法：(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数．第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断．即若有：f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0或f(x)－f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝－f2(x)或f(x)/f(－x)

7、＝－1为奇函数．若有f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0或f(x)＋f(－x)＝2f(x)或f(x)·f(－x)＝f2(x)或f(x)/f(－x)＝1为偶函数．(2)图像法：利用“奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称”来判断．(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．(4)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)