8-8走向高考数学章节

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1、考纲解读1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．2．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．3．能用向量方法解决直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何中的作用．考向预测1．空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择、填空题为主．2．利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题．3．利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重，多以解答题形式出现．知识梳理1．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有个，它们是

2、向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的．无数共线唯一2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用(2)直线与平面的夹角①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的投影的夹角．(3)二面角①二面角的取值范围是．②二面角的向量求法：(ⅰ)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①)．[0，π](ⅱ)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的

3、大小(如图②③)．基础自测1．(2010·江西理)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]D[解析]如图，连接AC1，可知AC1与三边AB，AD，AA1所成角相等，由对称性知，另有3条直线过A且与三边所成角相等．故选D.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2[答案]C[解析]∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)．∴－2＝λ，k＝－2λ，

4、∴k＝4.3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]B4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°[答案]C5．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________．[

5、答案]26．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．7．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.[分析]可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决，也可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．[例1]如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝B

6、C＝2，BB1＝1，E为BB1的中点．证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.[分析]要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直．转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.[点评](1)证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．(2)立体几何中的向量方法——“三步曲”．①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题．②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系．③根据运算结果的几何意义来解释相关问题．[例2]在正方体AB

7、CD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[点评]用向量法证明线面平行．可结合题设条件利用共线向量定理或共面向量定理证明．要注意说明直线在平面外；也可利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.[例3]在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO

8、⊥平面ABCD，∠PBO＝60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．[分析