一道解三角形的一题多解分享.pdf

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1、解三角形问题一题多解题例：在ABC中，角A,B,C的对边分别记为a,b,c，且b2，若三边a,b,c成等差数列，求该三角形内切圆的半径的最大值。分析与解答：本题关键是找出内切圆的半径r与a,b,c的关系，然而范围得产生方式可以由均值不等式，也可以是函数思想。111法一：由等面积法知：(abc)racsinB，又ac2b4，得racsinB226ac2由均值不等式得ac()4，当且仅当ac2取等；2222acb2ac413又由余弦定理cosB，得sinB当且仅当ac2取等；2ac2ac2211333所以racsinB4，即内切圆

2、的半径的最大值为6623322221acb(ac)2ac46法二：利用法一的部分过程得racsinB，cosB162ac2acac621236所以sinB1()1，2acac(ac)111所以racsinB3ac93a4(a)9，0(a)4633进而转化为关于a的函数去求最大值，以下过程略。法三：由题得abc6,由海伦公式得S3(3a)(ac)(3)23a4(a)3；111(abc)racsinB可得，rS，回到法二；2232法四：由余弦定理4(ac)2ac1(cosB)6111sinB可得，ac

3、；rSacsinB，1cosB3321cosBB,0(],转化为关于B的函数，由几何意义可以转化为动点3P(cosB,sinB)（红色部分）与定点()0,11连线的斜率，3可求得r。3法五：ac,4b2抓住内切圆与三角形的图形可以得出：x1B12B2cos，1cosB2cos2221r21r2由余弦定理得4(ac)2ac1(cosB)2ac23得ac1(3r)()4，得r，233即内切圆的半径的最大值为；3221法六：由法五得：1cosB，即r1，cosB1，转化为关于cosB21r1cosB23的函数，

4、可求得r。3法七：由ac,4即BABC4AC2,知点B的轨迹为以A,C为焦点的椭圆，长轴长4，22xy短轴长为23，B的轨迹方程为1，43故当B在椭圆短轴端点时面积最大，1即S的最大值为233，23所以内切圆的半径的最大值为。3