资源描述：
《一道高考数学题的一题多解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一道高考数学题的一题多解 题目:(2010年全国高考Ⅱ卷理科第11题)与正方体ABCD―A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点() A.有且只有1个B.有且只有2个 C.有且只有3个D.有无数个 分析:本题考查了空间想象能力和逻辑思维能力. 解法一:∵到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点,故选D. 点评:此法用旋转的观点考查空间想像能力. 解法二:在直线B1D任取一点P,分别作PO1,PO2,PO3垂直于B1D,
2、B1C,B1A于O1,O2,O3,则PO1⊥平面A1C1,PO2⊥平面B1C,PO3⊥平面A1B,过O1,O2,O3分别作O1N⊥A1D1,O2M⊥CC1,O3Q⊥AB,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理得PN⊥A1D1,PM⊥CC1,PQ⊥AB.由于正方体中各个表面全等,各个对角面也全等,所以PO1=PO2=PO3,O1N=O2M=O3Q.故有PM=PN=PQ,即P点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,因此这样的点P有无数个,故选D. 点评:此法用线面的位置关系和正方体的相关知识,通过
3、三垂线定理找到直线B1D上的动点P到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,从而得出答案.此法要求考生的逻辑思维要严谨,充分注意立体几何中的相关知识的合理运用. 解法三:图像法.作正方体ABCD-A1B1C1D1如下: 由图可知直线B1D上的任何一点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,故选D. 点评:此法用图形的直观性考查空间想像能力,简明扼要,但要求答题者具备相当的空间思维能力和逻辑思维能力.此法考生容易由特殊性认为只有B1、P、D三点或B1、D两点符合条件,从而错选B或C答案. 解法四:分
4、别以正方体的棱AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,与正方体的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点的坐标为(x,y,z),则: ==, ∴z2+y2=(1-y)2+(1-x)2=x2+(1-z)2, ∴z2+y2=1-2y+y2+1-2x+x2=x2+1-2z+z2, ∴y2=x2+1-2z,∴z2+x2+1-2z=1-2y+y2+1-2x+x2, ∴z2-2z=1-2y+y2-2x,又z=, ∴•=(y-1)2-2x, ∴(x2-y2)2-
5、2(x2-y2)-3=4[(y-1)2-2x], ∴x4+y4-2x2y2-2x2-2y2+8x+8y-7=0, ∴(x+y)4-4xy-8x2y2-4xy3-2(x+y)2+4xy+8(x+y)-7=0, ∴[(x+y)4-1]-4x3y[(x+y)2-1]-2[(x+y)2-1]+8[(x+y)-1]=0, ∴[(x+y)-1]{[(x+y)2+1][(x+y+1)-(4xy+2)(x+y+1)+8}=0, ∴[(x+y)-1]{[(x-y)2-1](x+y+1)+8}=0. 显然,当点的坐标为(x,y,z
6、),满足条件: x+y-1=0,z=时是题目的解. 当点的坐标为(x,y,z)满足条件: [(x-y)2-1](x+y+1)+8=0,z=,如(,,),看来也是题目的解. 点评:此题通过建立空间直角坐标系,建立方程模型,利用方程的思想解决空间几何问题.这种解决空间几何问题的方法要求考生具备较强的运算能力和一定的数学思维品质,虽然运算量比较大,但直观清晰. 责任编校徐国坚
