一道经典不等式的一题多解,拓展思维(欧建华).pdf

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1、一题多解，拓展思维广州新东方学校优能中学教育欧建华22看到xy1，有人看到的只是代数方程本身，而有人看到的是方程背后的圆的几何22222意义。看到(acbd)(ab)(cd)，有人看到的是柯西不等式，而有人看到的是隐藏于背后的本质--向量不等式。所谓横看成岭侧成峰，就是这个道理。学习数学常常也需要有这种能力，做数学题同样也需要培养这种本能反应。而一题多解绝对是培养这种能力的一条快速通道，同时，一题多解也是开拓学生视野，拓展学生思维，培养学生全面看问题的能力。那下面笔者将以08年重庆卷的一道选择题的变式为例，跟各位同学一起来欣赏一题多解的魅力，也一起来

2、感受一题多解带给我们的无穷震撼。【08重庆卷改编】已知函数y13xx的最大值为为()43(A)2(B)2(C)22(D)3【解法一】函数单调性想到最值，最容易想到的是单调性，于是想到求导。依题意，函数的y13xx的定义域是(3,1)，11令y'0，得x12xx321显然在(3,1)内是单调递增函数，在(1,1)内是单调递减函数，即函数在x1处取得极值。我们都知道连续函数的最值必在极值处或区间端点取得，取x1，有y22；取x3，有y2；取x1，有y2。综上，有函数y13xx的最大值是22，故选(C)

3、【解法二】平方法把y13xx两边平方得2y1xx321xx3242xx23242(x1)4函数的y13xx的定义域是(3,1)，2根据二次函数的性质，显然当x1时y的最大值为8，即y22，故选(C)max【解法三】基本不等式22222222在基本不等式ab2ab两边同时加上ab，有2a2b2abab，22222abababab两边同时除以4，整理得，即2222对于本题，令1xa，xb3，代入上式有：1xx31xx32，所以y22，故选(C)m

4、ax22【解法四】柯西不等式22222我们大家都知道著名的柯西不等式(acbd)(ab)(cd)，对于本题来讲，我们令a1,b1,c1xd,x3，22222则有(11x1x3)(11)((1x)(x3))8即1xx3822【解法五】三角代换22注意到(1xx)(3)4，容易想到令1xx2cos,32sin，其中[0,]2于是1xx32cos2sin22sin()4当时，有y22，故选(C)max4【解法六】数形结合12222注意到(1xx)(3)4

5、，形式很像圆的方程222vuy我们可以令ux1，vx3，则有uv4(u0,v0)于是原题变为求yuv的最大值我们可以把y看成直线vuy的截距，如右上图，很明显y22max【解法七】数形结合2同前，于是原题变为求yuv的最大值显然当直线与圆相切的时候取最值，而直线与圆相切时有dr

6、

7、y于是dr211因此y22max【解法八】直线与椭圆相切的充要条件22xy22222直线AxByC0与椭圆1相切的充要条件为AaBbC。22ab把圆看成特殊的椭圆，那么22uv2直线uvy0与圆1相切需满足14

8、14y44因此y22max【解法九】构造对偶函数1依题意y13xx我们构造Y13xx2222于是yY8，即yY8显然Y13xx是单调递减函数2故Y1xx3[2,2]，即Y[0,4]2yYmax8822min【解法十】对称性法对称性原理：在不等式中，当变量间地位对称（对等）时，两变量相等时，可使目标函数取得最值。22令ux1，vx3，则有uv4(u0,v0)，去求uv的最大值显然u，v两变量对称，故令u=v，则有u=v2yuv22max【解法十一】向量法根据向量不等式

9、

10、ab

11、

12、

13、

14、

15、ab令a(1,1)，b(1x,3x)，代入上式，有

16、(1,1)(1x,3x)

17、111x3x即1xx32422因此y22max【解法十二】公式法22结论：函数yacxbdx的最大值为y(ab)(cd)max对于本题求函数y13xx的最大值，有22y(ab)(cd)(11)(13)22max【总结】在12种不同的解法轰击下，我们的思维逐渐地被打开，我们的视野顿时变得开阔，我们看问题的角度从此不再单一。希望各位同学在日后的学习中，培养自己多角度、全方位考虑问题的能力，从此不再为没有

18、思路而烦恼，不再为没有方