一题多解拓思维.pdf

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1、数理化解题研~)2014年第JD期(IIII!)数学篇例谈对应思想在解组合问题中的应用山东省新泰中学(271200)徐加华●对应思想在数学中有着广泛的应用，下面结合例子形共有()．简单谈一下其在组合问题中的应用．A．25个B．36个．C．100个D．225个一、对C：=C：的理解‘分析在垂直于轴的6条线中任取两条，在垂直于这个性质可以由组合数的定义给出，从／7,个不同元素Y轴的6条线中任取两条，4条线相交就得到一个矩形，即中取出m个元素后，剩下n—m个元素，也就是说，从rb个对应一个矩形．故有c：·C：=15×15=225．不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从／7,个三、在立体

2、几何中的应用不同元素中取出17,一m个元素的唯一的一个组合，反过来在立体几何中也有对应的例子，例如不共面的四点也是如此．因此c：=c：一．也就是说，在组合问题中有多对应一个四面体，一个四面体对应三对异面直线等．少取法就有多少剩法，它们是一一对应的例4正方体的8个顶点中，任连接其中两个构成的例1袋中有5分硬币23个，1角硬币l0个，如果从所有直线中，能够构成多少对异面直线?袋中取出2元钱，有多少种取法?分析8个顶点能构成C：一6—6=58个四面体．因分析把所有硬币完全取出来，将得到0．05×23+此有58×3=174对异面直线．0．10X10：2．15(元)，比2元多0．15元，所以剩下0

3、．15四、在分配问题中的应用元即剩下3个5分或一个5分与1个I角．有多少剩法就有例5把10个相同的小球全部放入4个不同的盒子多少取法，从而有：c+c，·c：。种取法．内(盒子中可以放任意个小球)，每个盒子至少放一个球，二、在平面几何中的应用有几种放人方法?在平面几何中有许多对应的例子，例如不共线的三分析我们可以把盒子编上号：1，2，3，4．把1O个小点对应一个三角形或者说对应一个平面，一个平面四边球排成一列，由题意知需要把10个球分成4堆，而10个球形的两条对角线对应一个点等．之间有9个空隙，我们可以把3个挡板放人9个空隙中的例2圆周上有8个点，每两点连成的弦中，在圆内3个，则可以分成4

4、堆．从左到右依次把4堆放入相应的1交点个数最多有多少个?号，2号，3号，4号盒子中，这样就得到一种放法．从上面可分析两条弦若在圆内有交点，必对应一个圆内接以知道一种隔法就对应一种放法，有多少隔法就有多少四边形，反过来一个圆内接四边形必对应一个交点在圆放法．而从9个空隙中选3个，有c；种，故有c种放法．内(对角线的交点)，故最多有c：个．上述例子可以推广：有r／,个相同的小球，全部放人例3直角坐标xOy平面内，平行直线=n(17,=0，m(n>m)个不同的盒子中(每个盒子可以放任意个球)，每1，2，⋯，5)与平行直线Y=n(n=0，1，2，⋯，5)组成的矩个盒子至少—个球，有c种方法，同学

5、们可以自己证明．一题多解拓思维浙江越州中学(132200)马海龙●吉林省永吉县第十三中学(132200)秦淑文●国家教育部考试中心指出：设计出不同解题思想层AB上一定点，满足P0B=÷A，且对于边A上任一点P，次的试题，使善于知识迁移和运用思维块简缩思维的考叶．．0．．．J．．．．．．．．恒有PB·PC≥P0·PoC，贝Ⅱ()．生能用敏捷的思维赢得时间，体现出创造力．这是高考改革中从能力立意的重要体现．，A．／_ABC=90。B．C=90。C．AB=ACD．AC：BC现选择一道平面向量高考试题，从多角度思考解析试题，拓展思维．视角1应用数量积定义，将所求转化为线段P的函数关系，进而求函数

6、在固定点P0处取最小值来解决．题目(2013年高考浙江卷理7)设AABC，Po是边数学篇《数理化解题研究)2o14年第JD期(高￡l】)解P—B·=PB·PCc08／_CPB．÷，知P0是c的中点，故P0∥Ⅳc．所以上NC~[11(Pc。+PB。一=8C。)AB上NC，点C在AB中垂线上，有AC=BC，选D．视角4坐标法是解决向量问题的通性通法，解决本=(+BC一2PB·BCc。s曰~PB一BC)题也是方便的．：PB一PB．BCeosB．解如图2，过点C做y当朋：B—CcosB时P—B．AB的垂线交AB于0，以0，有最小值．为原点，AB所在直线为轴／．由题意知旦芎=÷A曰，即c。s曰：．

7、建立平面直角坐标系．P0B设A(a，0)，B(b，0)，图2又cosB==+甓c(o，c)，P(，0)，∈[a，6]．赢·=(b—，o)·(一，c)=一b=(一)=+甓，所以有一AC2=O,~PAC=BC，二当：b时选D·一赢．取最小值．，，叶‘视角2从向量的线性运算角度来看，P点的位置改由已知P·P≥Po13·P0恒成立，即则当P在P0处变引起PB的长度变化，而这种变化可以通过PB与AB之时赢·取得最小值，所以Po坐标为(b，0)