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时间:2020-03-10
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1、解三角形问题一题多解题例:在ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c,且b2,若三边a,b,c成等差数列,求该三角形内切圆的半径的最大值。分析与解答:本题关键是找出内切圆的半径r与a,b,c的关系,然而范围得产生方式可以由均值不等式,也可以是函数思想。111法一:由等面积法知:(abc)racsinB,又ac2b4,得racsinB226ac2由均值不等式得ac()4,当且仅当ac2取等;2222acb2ac413又由余弦定理cosB,得sinB当且仅当ac2取等;2ac2ac2211333所以racsinB4,即内切圆
2、的半径的最大值为6623322221acb(ac)2ac46法二:利用法一的部分过程得racsinB,cosB162ac2acac621236所以sinB1()1,2acac(ac)111所以racsinB3ac93a4(a)9,0(a)4633进而转化为关于a的函数去求最大值,以下过程略。法三:由题得abc6,由海伦公式得S3(3a)(ac)(3)23a4(a)3;111(abc)racsinB可得,rS,回到法二;2232法四:由余弦定理4(ac)2ac1(cosB)6111sinB可得,ac
3、;rSacsinB,1cosB3321cosBB,0(],转化为关于B的函数,由几何意义可以转化为动点3P(cosB,sinB)(红色部分)与定点()0,11连线的斜率,3可求得r。3法五:ac,4b2抓住内切圆与三角形的图形可以得出:x1B12B2cos,1cosB2cos2221r21r2由余弦定理得4(ac)2ac1(cosB)2ac23得ac1(3r)()4,得r,233即内切圆的半径的最大值为;3221法六:由法五得:1cosB,即r1,cosB1,转化为关于cosB21r1cosB23的函数,
4、可求得r。3法七:由ac,4即BABC4AC2,知点B的轨迹为以A,C为焦点的椭圆,长轴长4,22xy短轴长为23,B的轨迹方程为1,43故当B在椭圆短轴端点时面积最大,1即S的最大值为233,23所以内切圆的半径的最大值为。3
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