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1、一道中考压轴题的多解错解及感悟2013年江苏省泰州市中考数学试卷的压轴题(第26题)是：已知：关于x的二次函数y=-x2+ax(a>0),点A(n,yl),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.(1)若yl=y2,请说明a必为奇数.(2)设a=ll,求使ylWy2Wy3成立的所有n的值.(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使AABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值(用含a的代数式表示)；如果不存在，请说明理由.一、多解思路简析(1)思路1：•.•点A(n,yl),B(n+1,y2)在二次函数y=-x
2、2+ax的图象上，/.yl=-n2+an,y2二-(n+1)2+a(n+1)；Tyi=y2,-n2+an=-(n+1)2+a(n+1),化简，得a=2n+l.又Tn为正整数，「•a必为奇数.思路2：T点A(n,yl),B(n+l,y2)在二次函数y=—x2+ax的图象上，且yl=y2,・・.A,B两点关于二次函数的对称轴x二a2对称.又VA,B两点的对称轴为x=n+n+12,・••有a2二n+n+12,••a二2n+1.•.F为正整数，•：a必为奇数.(1)思路1：当a=ll时,y=-x2+llx,yl=-n2+lln,y2=-(n+1)2+11(n+1),
3、y3二-(n+2)2+11(n+2).TylWy2Wy3,n2+llnW-(n+1)2+11(n+1)W-(n+2)2+11(n+2),解得nW4.Vn为正整数，An的值为1,2,3,4.思路2：当圧11时，y二-x2+llx,二次函数的对称轴为x=5.5；当x<5.5时，y随x的增大而增大；当x>5.5时，y随x的增大而减小；TylWy2Wy3,二(n+1)+(n+2)2^5.5,解得nW4.•.F为正整数，An的值为1,2,3,4.图1思路3：当a=ll时，y二-x2+llx,二次函数的对称轴为x二5.5.易知，当x<5.5时，y随x的增大而增大；当x>
4、5.5时，y随x的增大而减小•作出图象如图1.TylWy2Wy3,•••只要在对称轴的左边寻找正整数n的值即可，观察可知n的值为1,2,3,4.(1)思路1：•••点A(n,yl),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上，/.yl=-n2+an,y2二-(n+l)2+a(n+1),y3二-(n+2)2+a(n+2),/.yl-y2=2n+l-a,y2-y3=2n+3-a.假设存在以AC为底边的等腰三角形，VAB=BC,•••AB2二BC2,•I(2n+l-a)2+12=(2n+3~a)2+12,即2n+l_a-2n+3_a(无解)或2
5、n+l_a+2n+3_a-0,解得n=a—22・Vn为正整数，「•a—2221,解得a^4且a为偶数..•.当a±4且a为偶数时，存在以AC为底边的等腰三角形，其中n=a-22；其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.思路2：假设这样的等腰三角形存在，当A,B,C三点在对称轴的同侧时，如图2,过B,C两点分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N,过A,B两点分别作BM和CN的垂线，垂足分别为D,E・则AD二BE二1.VAB=BC,ARtAABD^ABCE,.ZABD=ZBCE,・•・ZABD4-ZEBD+ZCBE=ZBCE+ZEBD+ZCBE=180°,图2图3
6、•*.A,B,C三点在同一条直线上，不符合要求.当A,B,C在对称轴的异侧时，如图3,过A,C两点分别作X轴的垂线，垂足分别为M和N,过B点分别作AM和CN的垂线，垂足分别为D,E,则BD=BE=1.•••AB二BC,/.RtAABD^ABCE,・・・AD二CE,・・.AC〃x轴，/.AC的对称轴就是二次函数的对称轴，点B应该在二次函数的对称轴上，/.yl=y3,有-n2+an=-(n+2)2+a(n+2),化简得n=a—22.•・・n为正整数,.•.a—2221,解得a±4且a为偶数..•.当a±4且a为偶数时，存在以AC为底边的等腰三角形，其中n=a-2
7、2；其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.二、错解原因归类1.错解呈现(1)错解1:•••点A(n,yl),B(n+1,y2)在二次函数y=-x2+ax的图象上，/.yl=-n2+an,y2二-(n+l)2+a(n+1).Tyl=y2,-n2+an=-(n+1)2+a(n+1),・a=2n一1・Tn为正整数，•*.a必为奇数.错解2：T点A(n,yl),B(n+1,y2)在二次函数y二-x2+ax的图象上，/.yl=-n2+an,y2二一(n+1)2+a(n+1)・•••yi=y2,_n2+an-_(n+1)2+a(n+1),••n=a12.如果a不是奇
8、数，则3-1为奇数，n就不是整数，这与条件n为正整数
