由一道题的错解引发的思考.doc

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1、由一道题的错解引发的思考先看下面一个单元选择题：已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（A）（B）3（C）（D）解（一）、假设P为直角顶点，坐标为。焦点F1、F2的坐标分别是。由可得，即，亦即，将该式代入椭圆方程得，因此选择答案（C）解（二）、假设为直角顶点，P的坐标为，因为焦点F1的坐标为，将代入椭圆方程得，因此选择答案（D）思考1：以上两种解法，获得了两个不同结果，是不是选择支设置不当？不是！首先两解法实际上是解答该题时应考虑的两个方面。另外，在解（一）中将代入会发现，

2、这样的值不存在，也就是说P不可能是的直角顶点。因此解（一）是错解！思考2：本题解（一）出现了以下现象：联立两方程得到关于的方程有解，但是方程组却没有解。以前，我们经常解直线方程（二元一次方程）与圆锥曲线方程（二元二次方程）组成的方程组，从没有遇到过类似情况。即联立两方程得到关于（或）的方程，把（或）解出来后代入一次方程，（或）一定存在，即方程组一定有解。这是为什么？其实，解时，将（2）式代入（1）得（3），本来，即，但在（3）式中这一限制被丢掉了。从解出的结果也能看出，与不符。因此，错解的根本原因是，联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了

3、变化，即方程的转化不等价。思考3：用判别式判断两圆锥曲线位置关系还行得通吗？众所周知，判断直线与圆锥曲线位置关系时，我们只要看联立后的（或）的一元二次方程解的情况，即判别式与零的大小关系即可。时，直线与圆锥曲线相交；时，直线与圆锥曲线相切；时，直线与圆锥曲线相离。既然两个二元二次方程联立以后，所得（或）的一元二次方程有解（）时，方程组未必有解，所以，判断两圆锥曲线位置关系时判别式失效了。请看以下两例：例1、判断两条曲线的位置关系。分析：两曲线分别是抛物线和圆，从图形上看显然它们无公共点。如果联立方程会得到方程，其判别式，方程有两负根。但由可

4、知应该有，方程组无根。因此用判别式判断两圆锥曲线位置关系是错误的。例2、问圆与抛物线会不会只有一个公共点？分析：联立方程可得，令可得。但是不能断言：圆与抛物线只一个公共点。可以验证当时，，即它们有两个公共点。如果本题去掉限制，从图形上很容易看出时两曲线只有一个公共点（原点）；从方程上看，因为由可得，联立后的方程丢掉了该限制，所以要等价转化为方程在内只有一零根的问题。基于以上思考研讨我们知道：已知两二次曲线方程，判断它们的位置关系，不能使用判别式了，因为联立方程后所得方程中变量的取值范围发生了变化，即方程的转化不等价。解答时要看方程组解的情况

5、。再者，已知含参数的两二次曲线公共点个数，求参数的值或取值范围时，应等价转化为关于（或）的一元二次方程在某限定范围内有解的问题。