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1、对一道中考数学压轴题的探究和推广【摘要】：广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心，着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容，体现了中考数学压轴题的选拔功能.笔者对2016年广州市中考数学压轴题进行多解分析与加强推广,以期解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点，促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.【关键词】：中考数学压轴题探究推广广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体，以探究其中
2、三条线段平方之间的等量关系为核心,着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容.要求考生具备良好的空间想像能力和较强的逻辑推理能力才能圆满解答,较好地体现了中考数学压轴题的选拔功能•故此，笔者以下特分享对2016年广州市中考数学压轴题的多解分析与加强推广，以期更好地解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点，促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.一、相关试题的描述试题:如图1,点C为AABD外接圆上的一动点(点C不在身4D上，且不与点B,D重合),ZACB=ZABD=45°・(1)求证:是
3、该外接圆的直径；(2)连接CD,求证:屈C=BC+CD;(3)若AABC关于直线AB的对称图形为MBM，连接DM，试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.二、相关试题的剖析(一).第一问的证明方法证明：因为=,所以ZACB=ZADB,乂ZACB=ZABD=45°,所以ZADB=ZABD=45°，则在MBD中,ZBAD=90°，所以BD是ABD外接圆的直径.【评析】：第一问考查了圆的相关知识，特别是学生比较熟悉的“90。的圆周角所对弦是直径”的性质定理，让大部分考生能心平气和地顺利解决，为下面更好地展开第二问和第
4、三问做了良好的铺垫,体现了试题由浅入深，逐步递进的命题特色,符合学生认知发展的规律.（二）第二问的几种证法证法1:（将MDC绕点A顺时针旋转90。）如图2,因为ZADB=ZABD=45°，所以AB=AD,ZBAD=90°，将ADC绕点A顺吋针旋转90°得到ABC，所以AC=AC,ZC'AC=90°,CB=CD,AABC=ZADC，乂四边形ABCD的顶点在同一圆上，所以ZADC+ZABC=180°，则ZABC^ZABC=18（）。,即C',B,C在同一直线上，贝I]RtACUC中，AC/2+AC2=CC/2,即2AC2=CC/2,所以近A
5、C=CC',又CC=BC+C'B=BC^CD,^f以Ji4C=BC+CD・证法2:(延长CB并构造与MDC全等的三角形)如图2,延长线段CB到点C',并截取CB=CD,连接AC7,因为ZADB=ZABD=45。,所以AB=AD，又四边形ABCD的顶点在同一圆上，所以ZADC+Zy4BC=180°,又ZABCz+ZABC=180°,所以ZABC'=ZADC,则ABC竺ADC(SAS)，所以AC'=AC,乂ZACB=45°,则ZAC'B=ZACB=45°,即ZC'AC=90°,则在RtAC^C屮，AC”+AC2=CCfl,即2AC2=CC，
6、2,^fLUV2AC=CC,,XCC，=BC+C，B=BC+C£>,^fLUV2AC=BC+CD.证法3:份别过3Q作AC的垂线段，构造等腰直角三角形)如图3,作BE丄AC，垂足为点E,因为ZACB=45。,所以ZACB=ZEBC=45°，则EB=EC,因为在RtABEC中,£B2+EC2=BC~,即2EC2=BC2，所以近EC=BC;作DF丄AC，垂足为点F,因为=所以ZACD=45°,则ZACD二ZDFC=45。,所以CF=DF,因为在RtACFZ)中，CF2+DF2=CD2,即2DF2=CD2,所以41DF=CD;又ABAD=90°,
7、即ZBAE+ZFAD=90°，又ZADF+ZFAD=90°，所以ZBAE=ZADF，又AB=AD，所以ABE竺DAF(AAS),贝ljAE=DF,所以近AE=CD,贝I」近EC+近AE=BC+CD,即V2(EC+AE)=BC+CD，所以近AC=BC+CD.【评析】：第二问的证法1与证法2分别通过三角形旋转和构造全等三角形,将线段BC与CD拼接在同一直线上，再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论;而证法3则是过B,D作线段AC的垂线段,将线段AC拆分成EC和AE两部分，再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系和全等三角形的转
8、换得到所求证的结论•显然相对于第一问，第二问在思维层次上做了一个适当的提升，对部分中等偏下的考生设置了障碍•事实上,无论是用“拼接”还是“拆分”的方法,都要求考生具备一定的几何构
