对一道高考轨迹题的探究与推广

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1、图4对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中《数学课程标准》指出：“学牛的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高屮数学课程还应倡导口主探索、动手实践、合作交流、阅读口学等学习数学的方式”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.卜面通过对一道高考题（05年江苏卷）的反思、探究、推广，介绍自己在这方面所做的一次尝试。考题：如图1,圆O］与鬪Ch的半径都是1,0^2=4,过动点P分别作圆0

2、、圆02的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=41PN.试建立适当的处标系，并求动点P的轨迹方程.木题是

3、由一动点出发的两条线段之比为定值的点的轨迹.一个很白然的想法是将题中的比改为和，点P的轨迹还是圆吗？探究一若将题中的条件PM改为PM+PN=m,其他条件不变，则P点的轨迹将是什么呢？解：以OQ2所在肓线为x轴,OQ2的垂肓平分线为y轴，建立肓角坐标系（下同），设P（x,y）,则PM+PN=m即J（x+2尸+）.,2_］+/兀_2）2+〉，2_］二皿①化简并整理得（4/??2-64）x2+4m2y2=m2（m2-12）②⑴若加v2血时,则①不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.⑵若m=2V2时，则①表示两个点（-1,0）.（1,0）.⑶若2血

4、的双Illi线②的-•段（如图2）.⑷若m=2V3W,则①表示两条线段,〉，=±¥兀--<%<-（如图3）.22丿⑸若2希2V6时,则①表示椭圆②（如图8）.探究二若将题屮的一个圆改为一定肓•线,点的轨迹又将是什么呢？即把圆02改为肓线x=2,其他条件不变，则P解：设P(x,y),则PM+PN=m(如图9)即7(^+2)

5、2+/-1+x-2=m<=>^/(x+2)2+y2-1=x-2+in(x<2)-x+2+m(x>2)④化简并整理得y2=2(m-4)x+in2-4m+1⑤化简并整理得y2=一2(加+4)x+/2+4加+1⑴若m<3时,则③不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.⑵若加二3吋,则③表示一个点（-1,0）.⑶若35<丘时，④表示抛物线⑥在直线x=2-m的右边一段，⑤不表示任何图形，则③表示抛物线⑥在直线x=2-m的右边—段（如图10）.⑷若m=VL5时，④表示抛物线⑥在直线x=2-VL5的右边一段，⑤表示一个点（2,0）,此点在抛物线上，则③表示抛物线⑥在直线x=2-V15的右边一

6、段（如图11）.。2x⑸若V15

7、半封闭图形（如图14）.⑻若m=5时，④表示抛物线⑥b=2兀+6在直线x=2的左边，⑤表示抛物线⑦y2=-18x+46在直线x=2的右边，则③表示④、⑤围成的封闭图形（如图15）.⑤表示抛物线⑦在直线x=2的（9）若加＞5时，④表示抛物线⑥在直线x=2的左边一段,右边一段，则③表示④、⑤围成的封闭图形（如图16）.探究三若将题中的一个鬪改为一定点，即把圆02改为定点（2,0）,其他条件不变，则P点的轨迹又将是什么呢？解:设P（x,y）,则PM+PO2=m（如图17）即^x+2）2+y2-+7（x-2）2+y2=m⑧化简并整理得（4/—64）/+16兀+4肿员=赤一］伽2+i

8、⑴若加＜3时,则⑧不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.⑵若m=3时，则⑧表示一个点（-1,0）.⑶若3v加v4时，则⑧表示双曲线⑨左支的一段（如图18）.⑷若加=4时•，则⑧表示抛物线64/=-16x+33的一段（如图19）.4⑸若4＜加＜5时，则⑧表示椭圆⑨的一段（如图20）.探究四若将题中的一个圆改为一・定点，即把圆01改为定点（-2,0）,再将题屮的一个圆改为一定直线，即把圆02改为直线x=2,具他条件不变，则P点的轨迹乂将是什么呢？解：设P（x,y）,则PQ+PN二加（如图23）即J（x+2尸