一道高考填空题的探究及推广-论文.pdf

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1、第9期高中数学教与学一道高考填空题韵探究及推广王怀明(安徽省枞阳县会宫中学，246740)一、题目结论1的条件：A(+)可变形(2014年全国高考题)：已知A，B，c为圆为(1—2A)+AO—B+AO—C：0，其更一般0上的三点，若：(詹+)，则与的形式为m++0．对于任意三的夹角为一角形，外心0满足该关系式，能否求COS／_BOC二、解法探究或COS／BAC呢?经过探究，得到如下结果：结论2设AABC的外接圆圆心0满足解法1因为A——0⋯=÷(AB+A——c一)，所以m+n+p：0，A一0：(OB—OA+OC～OA)=÷(一+～)，即且pOB+OC：=则co

2、s／_BOC：一二，np0，所以B，C，0三点共线；又点0是ZXABC的c0s／AOC=一，外心，所以Bc为圆O的直径，与的夹角mp为90。．COS／_AOB：一．mit解．法．2A——O，·A—_B+=÷l(A—B+A——c})·A—B}证明’．‘，nOA+nOB+POC=0，：(+．)．①‘．．mOA=一(nOB+Poc)．由向量数量积的几何意义：A—O．詹等于两边平方得In2：z+P十2itpOB·OC．因为点0为AABC的外心，的长度II与在方向上的投影——^————}——-IOA"l=fOBf=fOCf．．llc。s／_BAO之积．又点0为IXABC

3、的外．·心，因此lA——O一ICOS／BAO=÷llA—B一l，所以A——O一．．cos／_BOC：一．np．：ll2同理cos／_AOC=一去，．代人①，得．：0，所zmp以与的夹角为90。．COS~AOB：一去，n凡．三、条件与结论的推广利用COS／BOC=2cos。／BAC一1，容易此题条件：(赢+)的一般形式求出COS／BAC．这个结论还可以化为m=17,+P+2npcos／_BOC；为：A(+)，此时能否求与的=m+P+2mpcos／AOC；夹角呢?P=m+n+2rnncos／AOB．结论1设AABC的外接圆圆心0满足我们发现，结论2形式简洁优美，具

4、有对称=A(+)，则c。sA=．特征．和三角形的余弦定理非常相似，仅差了一个负号，不妨称之为三角形的外心余弦定理证明过程同以下结论2，略．·49·