一道数学竞赛试题的探究与推广.pdf

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1、《数理化解题研究》2014年第jD期(■田)数学篇一道数学竞赛试题的探究与推广湖北省孝感一中(432000)叶晓斌●题目(2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛当1≤aI：a2—3do=口3—6do=⋯：a一3(m一试题(高二年级)第7题)从集合A：{1，2，3，⋯，30}中1)do≤11,一3(m一1)d。时，可得，I一3(m一1)个等差数列；取出五个不同的数，使这五个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为——．当1≤a1=a2一kdo=a3—2do=⋯：a一

2、i}(m解当公差d=

3、1，2，3，4，5，6，7时，分别可得到26，一1)d。≤n—k(m一1)d。，其中后=[]时，可得n一22，18，14，10，6，2个等差数列，一共98个；把这98个数列分别倒序排列又得到98个公差为负蠡(m一1)个等差数列．的等差数列，故总数为196个．综上所述，当公差d=1，2，⋯，k时，其共构成等差数列的探究1若从集合A={1，2，3，⋯，r／,}中取出m个不总数为一丛旦业；把这些数列分别倒序排列又同的数，使这ra,个数构成等差数列，则可以得到多少个不同的等差数列呢?得到k一丛二个公差为负

4、的等差数列，故总数解析设从集合A中取出的m个不同的数分别为al，a2，⋯，a，且aI

5、一1)时，可得t／,一2(m一1)个等差数列；仍为k(2n+k+1一m一后，n)，其中k=[旦—=]．当1≤a1=a2—3=口3—6=⋯：a一3(rr／,一1)≤／7,一3(m一1)时，可得r／,一3(r／7,一1)个等差数列；其证明方法同上，限于篇幅，在此就不赘述了．结合探究1、2、3的结论，我们可归纳得到如下结论及当1≤a1W-a2一k=a3—2k=⋯=a一k(rrt一1)推论：≤一k(m一1)，其中k=[]([]表示不大于的’结论从集合A：{a。，a：，a一，a}中取出m个不同的数，使这m个

6、数构成等差数列，其中{}是以公差为最大整数，下同)时，可得／7,一尼(m一1)个等差数列．d。≠0的等差数列，且n≥m>1，则可以得到不同的等差综上所述，当公差d=l，2，⋯，k时，其共构成等差数数列的个数为k(2+k+1一m—km)，其中k=[]．列的总数为k凡一丛生十一=二-；把这些数列分别倒序推论1若数列{a}是以公差不为0的等差数列，从排列又得到k一丛生上_个公差为负的等差数中取出若干(大于1)个数构成其子列，则所有子列中仍列，故总数为k(2n+k+1一m一后m)个，其中后=成等差数列的子

7、列数为k(2n+k+1一m一．I}m)，其中。——ra=2[]．七=[]．探究2若从集合A={a。，a：，a一，a}中取出m推论2若数列{a}是以公比不为1的等比数列，从个不同的数，使这m个数构成等差数列，其中{a}是以公中取出若干(大于1)个数构成其子列，则所有子列中也差为d。>0的等差数列，则是否也可得到k(2n+．】}+1一m—km)个不同的等差数列呢?成等比数列的子列数为。——k(2n+k+1一m—km)，其中m=2结论是显然的，其证明过程如下：k=[]．证明设从集合A中取出的m个不同的数

8、分别为m一上1，m，⋯，m，则：最后以一道2010年浙江省五校联考试题为例，应用当1≤al=a2一d0=a3—2d0=⋯=a一(m一1)d0上述结论对其进行求解．≤，l一(m一1)d。时，可得n一(m一1)个等差数列；例设{a}是等差数列，从{a。，a，⋯，a}中任取3当1≤al=a2—2do=a3—4d0=⋯：a一2(，n一个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等1)≤n一2(m一1)d0时，可得ft．一2(m一1)个等差数列；差数列最多有()．数学篇《数理化解题研究》2年第D期(ra

9、m)A．90个B．120个C．180个D．200个—3—9×3)=l8o(4-)．故答案选C．点评从上述解答过程可以看出，运用本文的结论解由题意知，后=[寻]：9，n=2o，m=3．于解题不仅过程更为简洁，而且也为这一类问题的求解提是，得到这样不同的等差数列最多有：9(2×20+9+1供了一种更为简单而有效的方法．构造“二次函数"巧解“抽象函数"问题福建省晋江市子江中学(362200)廖朝辉●靠--*。

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15、据稚嚣：蠕{％船}难强强：镰船1．引入问题解析由于Y