一道竞赛题的证法探究.pdf

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1、∥⋯⋯⋯～⋯⋯⋯⋯⋯一⋯一道竞赛题的证法四日吕建恒(陕西省兴平市教研室)2014年全国高中数学联赛陕西预赛第三题：所以A+PB01—90。，如图1，o0与o()2相交于P、Q两点，且oo即B0上AC。经过圆心O，A是(三)o的优弧PQ上任一点，AP、AQ同理可证C0上AB。的延长线与o0分别交于点B、C。求证：O为故0为AABC的垂心。△ABC的垂心。证法4：连接00并延长交(三)0。于D，连接本刊第5期给出了此题的一种参考答案。经探B0、BD、P0、0Q，如图3，则究，笔者认为，此题内含丰富，证

2、法较多，涉及的知识B()上BD。D面较广。现给出一些证法，以飨读者。因为B、P、0、D四点共圆，证法1：连接01P、01Q、o1B、BQ(图1)，所以P01D+PBD则PoQ一2A。一180。。图31因为0P—OQ，所以又BAC一÷P0Q厶o1BP一0BQ。一P0D，又因为B、IP、0、Q四点所以BAC+PBD=180。。共圆，图1则BD／／AC。所以P0Q+PBQ又B0_上IBD，所以B0上AC。===180。同理可证C0上AB。则A+PBO1—90。，即B0上AC。故0为△ABC的垂心。同理可

3、证Co上AB。证法5：连接00并延长交(三)()2于D，连接故0为△ABC的垂心。0P、0Q、0A、0B、DB、DC、BQ，如图4。证法2：如图1，由证法1知PB0一QB0。因为B、P、0、D及Q、()、又B0过o0的圆心0，A、Q均在oo上，D、C四点共圆，所以A与Q关于直线B0对称。所以0DB===0PA一故B0_LAQ，即B0上AC。01AP，0lDC一0QA同理可证C0上AB。一0AQ。故0为△ABC的垂心。则BDC一BAC。图4注：过点0分别作BA、BQ的垂线，易证弦心距又B、Q、C、D

4、四点共圆，相等，弦相等。由割线定理得BA—BQ。所以BQA一BDC一BAC。证法3：连接QO并延长交o0于点D，连接又B0。平分ABQ，则B0上AQ。DP、PQ、BO，如图2，则DP以下同证法2，略。上PQ。证法6：如图4，连接C0。所以PDQ+PQD=90。。因为0P一0Q，所以0BA一0CA。因为D一A，PQO。又0lBC=0DC，0lCB一／01DB，一PB0】，图2所以0lBC+0CB一0DC一0DB