一道中考阅读题的探究.pdf

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1、初中数学教与学2014聋一道中考阅读题的探究黄世康(江苏省泰兴市西城初中，225400)题目(2013年北京)阅读下面材料：形ARQF、ASMG、ATNH、AWPE拼成如图3小明遇到这样一个问题：如图1，在边长所示的正方形RFGH．为a(口>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG：D=1，当LAFQ=BGM=CHN=LDEP=45。时，求正方形MNPQ的面积．BEcFG、、、层D图2图3’’。AR=AE=BF=BS=⋯=DW．所以正方形RFGH的边长仍为口，显然SBG、S正方形^片cD=S打形

2、凡删=n．、j’运用面积割补的方法，可得图11小明发现，分别延长QE、MF、NG、PH交s正方形PQ=4S△A胱：4×}×1×1=2．FA、GB、HC、ED的延长线于点R、s、，可得ARQF、ASMG、ATNH、AWPE是四个全等的等腰直角三角形．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成KNK一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长是——；图4图5(2)求正方形MNPQ的面积．对于图2，我们可以类比上蘧的操作思参考小明思考问题的方法，解决问题：路：如图4，延长PD、CA交于点M；QP、AB

3、交于如图2，在等边△ABC各边上分别截取点N；RQ、BC交于点，显然AM=AO=BE=4D=BE=CF，再分别过点D、、F作BC、AC、8N=CK=CF(如图4)．易证△MRF△DPNAQEK．AB的垂线，得到等边ARPQ，若s删=等，现将这三个等腰三角形拼成边长为n的则AD的长为一—_．等边△，如图5所示．显然，有从本题图形上看，似曾相识．追其“根”就St,MNK=SABc．是课本中勾股正方形模型．运用面积割补的方法，可得本题不妨将勾股定理的证明思路迁移过SAPo=3S△^彻，来，即将考题中的四个全等的

4、等腰直角三角由已知，·40·第8期初中数学教与学鱼类似地，有3S⋯：3：3×÷×)(sin60。，S边形syz=5S△^MA，’1解得AD=÷．=5XW-×1×1×sin72。厶拓展与延伸<=÷sin72。．(1)将考题改成：如图6，边长为rz(a>2)的正五边形ABCDE．在各边上依次截取AM读者可以归纳一下正n边形的情形．=BN=CP=DQ=EJ=1．作BMT=(2)将图1改成：／CNX=DPY=／EQZ=Z_AJS=54。，求如图8，边长是a(n>2)的菱形ABCD，五边形STXYZ的面积．且A=1

5、20。．设AE=BF=CG=DH=1，日Ⅳ=／DGQ=60。，CFP=A日M=30。，求四边形MNPQ的面积．E、D图6分析类比上面的思路与方法，分别延C长EA、TM⋯得交点、、c、、E．图8显然，AA=AM=BB=BN⋯一EE至此，相信渎者一定能求解了．=EJ，本题的“根”就是勾股正方形．命题者在△SJABTM⋯△EZQ．勾股正方形上作了适当的加工和改造，解题将这五个等腰三角形拼成正五边形的关键在于能将勾股正方形的拼图方法迁移4BCDE，如图7所示．过来，利用面积建立等量关系．题目并不难，4贵在得巧．课

6、本蕴含丰富的数学思想方法，通过实践操作探索图形之问的变化关系，感受构造简单几何形体的过程和结论，妙在其中，乐在CD其中．图7(上接第12页)=()一()一()，需要深刻理解、灵活运用．例10已知a+b=70，C=ab一1225，·．．c25一()。，求。、b、C的值．分析此题运用积化和差公式ab：+()()一()‘，解题过程极为简捷．从而Ⅱ=b，C=0．代人已知式，解得a=b=35，C=0．解‘．=()l2_()·41·