一道中考数学压轴题的解法探究_邓文忠.pdf

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1、第2期初中数学教与学一道中考数学压轴题的解法探究邓文忠(陕西省洋县黄安初中，723307)以能力立意的2013年陕西省中考数学压若不存在，说明理由．轴题是一道探究题，重在考查学生分析问题解(1)如图1所示．和解决问题的综合能力．此题以圆、正方形、(2)如图2，连结AC、BD相交于点O，作直特殊梯形、等分面积等为载体，以全等三角线OM分别交AD、BC于P、Q两点．过点O作形、正方形、梯形及菱形性质、相似三角形、梯OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点．则直线形面积等分线的作图为切入点，考查全面，综OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．合性强，注重培

2、养学生的数学思考和应用创理由如下:新意识．三个问题由浅入深，有利于不同水平∵点O是正方形的对称中心，学生的区分．经笔者深入研究，第(3)问也可∴AP=CQ，EB=DF．单独成题，解法灵活多样，而多角度的思考对在AOP和EOB中，锤炼思维大有裨益．下面提供此问的另解，供∵∠AOP=90°－∠AOE，参考．∠BOE=90°－∠AOE，原题问题探究∴∠AOP=∠BOE．(1)请在图1中作出两条直线，使它们将∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，圆面四等分;∴AOP≌EOB，(2)如图2，M是正方形ABCD内一定点，∴AP=BE=DF=CQ，请

3、在图2中作出两条直线(要求其中一条直线∴AE=BQ=CF=PD．必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积设点O到正方形ABCD一边的距离为d．四等分，并说明理由．1则有(AP+AE)d%APD2M1=(BE+BQ)dF2OEO1=(CQ+CF)d2BQC1=(PD+DF)d．图1图22∴S=S=S问题解决四边形APOE四边形BEOQ四边形CQOF=S，(3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，四边形POFDAB+CD=BC，点P是AD的中点．如果AB=∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在等分．

4、一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面(3)存在．当BQ=CD=b时，PQ将四边积分成相等的两部分?若存在，求出BQ的长;形ABCD的面积二等分．·35·初中数学教与学2014年理由如下:∴CP是BCE的中线，如图3，延长BA到点E，使AE=b，延长∴SBPQ+SPQC=SPCD+SDEP．①CD到点F，使DF=a，连结EF．要等分梯形，即要使%S+S=S+S．②EBPQABPPCDPQCF考虑到S=S，ABPDEPDP①－②，并化简，得SPQC=SDEP．MA由于PM=PN，故只需QC=DE=a即可，此时BQ=b．B

5、QC∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD图3的面积分成相等的两部分．∵BE瓛CF，BE=BC=a+b，%E∴四边形EBCF是菱形．连结BF交AD于点M，则PDMAB≌MDF，AN∴AM=DM，BMQC∴P、M两点重合，图4∴P点是菱形EBCF对角线的交点．在BC上截取BQ=CD=b，点评图中结论除CP平分∠BCD外，还则CQ=AB=a．有BP平分∠ABC，BP⊥PC．这在梯形中是一设点P到菱形EBCF一边的距离为d，道名题．图中辅助线是梯形、角平分线的常见1辅助线;图中化梯形为三角形，先从等分三角则(AB+BQ)d2形面积入手，体现了转化思

6、想．11=(CQ+CD)d=(a+b)d，另解2先准确地作出PQ，再算结果．22如图5，过点B作BE∥AD交CD于点E，∴S=S．四边形ABQP四边形QCDP过点P作PM∥AB交BE于点M．连结MC、∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCDPC．过点M作MQ∥PC，交BC于点Q，则PQ的面积分成相等的两部分．为梯形ABCD面积的等分线．第(3)问解法精巧，用了构造菱形及同一%D法证P、M两点重合，虽然受到第(2)问解法的P启示，但仍有一定难度．为此，下面另辟蹊径，AEMF多角度思考，探究不同解法．BNQC另解1不必准确地作出PQ，直接计算结果．图5

7、如图4，连结BP，并延长交CD延长线于点E，连结CP．理由:由于P、M分别为AD、BE中点，易证ABP≌DEP，∴S+SABMP=S+S，BCMCMEPMED则DE=AB=a，BP=PE，即C－M－P等分梯形面积．∴CE=a+b=BC．由MQ∥PC，得由“三线合一”得∠BCP=∠DCP．S=S，S=S，QMPQMCFMPQFC过点P作PM⊥BC于点M，作PN⊥CE∴S+SBCMABMP于点N，则PM=PN．=S+S+SBQMQMCABMP·36·第2期初中数学教与学=S+S+SF．连结PE、PF，取EF的中点Q，则PQ

8、为梯形BQMQMPABMP=S．ABCD的面积等分线．四边形ABQPSCME+SPMED理由:∵AE∥PB、DF