一道高考压轴题地探究.pdf

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1、2007年第23期












数学通讯15一道高考压轴题的探究任念兵(上海市育才中学,上海
201801)中图分类号:O12-44



文献标识码:A



文章编号:0488-7395(2007)23-0015-02

近几年高考广东卷的压轴题都具有深刻22aan+ban+caan-can+1=an-=的高等数学背景.这类问题植根于教材但不2aan+b2aan+b2受课本知识的束缚,而是将一些具有普遍意b-4ac

14a义的高等数学内容初等化为函数、不等式、数=(2aan+b)+4a2aan+b列等综合性问题;由于此类题型

2、有利于遏制b
-,题海战术,有利于考试公平,因而深受命题者2a青睐.2007年广东卷21题的背景是数学分-b+b2-4ac而由a1=m>知析中方程近似解的一种求法


牛顿切线2a2aa2法:1+b1b1-b+b-4ac=a1+>
设f(x)是[a,b]上的二阶可导函数,方4a24a22a程f(x)=0在[a,b]上有唯一解
.若f
(x)+b>0,4a
0且f(a)f
(a)>0,则可由x0=a,xn=21b-4acbf(xn-1)故有a2
2
-=
xn-1-(n=1,2,
),构造数列4a4a2af
(xn-1)2-b+b-4ac{xn

3、},使得limxn=
,当n充分大时,可以(当且仅当a1=时取等号,n
2a把xn作为方程f(x)=0的近似解.因此a2>
),下面,笔者将该题的条件一般化,并由此同理得a3>
,
,an>
(n=1,2,探究其中的一些有趣结论:
).2已知二次函数f(x)=ax+bx+c,
,
结论2
{an}是单调递减数列.是方程f(x)=0的两个根(
>
),f
(x)是2aan+ban+cf(x)的导数,设a1=m>
,an+1=an-an+1-an=-2aan+bf(an)a(an-
)(an-
)(n=1,2,
).=-,f
(an)2aan+

4、b结论1
对任意的正整数n,都有an而由an>
可知>
.2aan+bb=2an+首先易得aa22-b+b-4acbb2-4ac>0,
=-b+b-4ac,>2
+>0,2a2aa2又由an>
>
,故有an+1-an<0.-b-b-4ac
=,f
(x)=2ax+b,2a结论3
数列{an}的极限存在,极限值收稿日期:2007-07-07作者简介:任念兵(1981
),男,上海市育才中学二级教师,学士.16数学通讯












2007年第23期为
.2abn1bn+1=
aa22abn+b+2a
bn+1n-c[方法1]
an

5、+1-
=-
=2aan+bb+2a
b+2a




a(a22aan-
)2aan+b=+2
2aa.由>0,an>
知bnbnbn+1n+bab+2a
2a(an-
)2
b+2a
>0;a

2aan+b=+abnbna(an-
)12aan+b而<
an-
<
b+2a
2aan+b22a

ab
+1
>-,显然成立.bn+12a2b+2a
a(an-
)1

故有0<<.=a.2aan+b2+1bna(an-
)

6、an+1-

7、=

8、an-

9、
b+2a

2aan+ba记cn=+1,则11bn<

10、an-

11、<2

12、an-1-

13、

14、<
22b+2a
b

m++
1aa

15、a1-

16、.c1=+1=,cn+12m-
m-
n-1
=c222对任意
>0,取N=log1+n,故有cn=cn-1=
=c1,从而有2a1-
b+2a
1,则当n>N时,有

17、an+1-

18、<
,即得数

aan=bn+
=+
列{an}的极限值为
.cn-1[方法2]
由数学分析的知识
单调递b+2
a减有下界的数列必有极限
可知,数列{an}=n-1+
.2b的极限存在,记为A,由an>
可知A

.m++
a-12aan-cm-
对an+1=两边取极限得A=2aan+b类比推论
已知二次函数

19、f(x)=ax2+22aA-c-b+b-4acbx+c,
,
是方程f(x)=0的两个根(
>,解得A=(小根2aA+b2a
),f
(x)是f(x)的导数,设d1=k<
,舍去).f(dn)dn+1=dn-(n=1,2,
),则结论4
{an}的通项公式为f
(dn)b
对任意的正整数n,都有dn<
;+2
aan=n-1+
,
{dn}是单调递增数列;2bm++

数列{dn}的极限存在,极限值为
;a-1m-

{dn}的通项公式为2ba(an-
)an+1-
=a+2
2aan+bdn=n-1+
.2a(a2bn-
)k++
=,a-

20、12a(an-
)+b+2a
k-
记bn=an-
,则b1=m-
,