资源描述：
《一道2013年高考压轴题探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、一道2013年高考压轴题探究2013年全国高考数学山东卷理科第22题：椭圆C:x2a2+y2b2=l（a〉b〉0）的左、右焦点分别是Fl，F2,离心率为32,过n且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2.设ZF1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（III）在（II）的条件下，过点P作斜率为k的直线1，使得1与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为kl，k2,若k#0，试证明lkkl+lkk2为定值，并求出这个定值.此题题设
2、简明、立意新颖，主要考查椭圆方程、直线方程、三角形内角平分线、直线和椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.是较好的压轴题.笔者将此题作为能力测试题，对所教高二两个理科实验班学生测试，测试时间为20分钟，满分为14分，结果两班108位同学只有2个同学得14分，10分以上的同学22人，8分以上的同学41人，平均得分6.9分，难度系数为0.49.笔者所教两个班是全年级学生程度最好的两个班，尚且得分率不高，何况大部分学生主要靠第（I）小题得分，鉴于此，笔者对此题做
3、了认真探究.1.解法探究(I)由题意容易求得椭圆C的方程为x24+y2=l.(II)解法1:设P(xO,yO)(yO关0).又FI(-3,0)，F2(3,0)所以直线PF1,PF2的方程分别为1PF1:y0x-(x0+3)y+3y0=0，1PF2:yOx-(xO-3)y-3y0=0.由题意得Imy0+3y0
4、y20+(xO+3)2=
5、myO-3y0
6、y20+)(xO-3)2.由于点P在椭圆上，所以x204+y20=l，则
7、m+3
8、(32x0-2)2=
9、m-3(32x0+2)2.所以m二34x0.因为-3b>0)的左、右焦点分别是Fl，F2.点P是椭圆C上除长
10、轴端点外的任一点，连接PF1,PF2.设ZF1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，则-a2-b2a.b〉0)的左、右焦点分别是Fl，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.则ZF1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.证明设P(x0，y0)(y0关0)，ZF1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0）.由题意得
11、PF1
12、
13、PF2
14、=
15、F1M
16、
17、F2M
18、a+ex0a_ex0=m+cc一m(其中e为椭圆的离心率，c2=a2-b2)，解得m=e2x0.若x0=0,显然ZF1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.若x0其0，因为
19、m=e2x0，所以直线PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因为PH丄PM，所以外角平分线PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而过点P与椭圆C相切的切线斜率为-b2x0a2y0,则ZF1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.定理1证明：设P（xO，yO）（yO关0）.由引理1的证明得m=e2x0，因为-a0，b〉0）的左、右焦点分别是Fl，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1,PF2.设ZF1PF2的外角平分线PH交C的实轴于点H（m，0），则ma2+b2a；若过点P双曲线切线的斜率k#0,则lkkl+lkk2为定值.为证定理
20、2，先证引理2.引理2双曲线C:x2a2-y2b2=l（a〉0，b〉0）的左、右焦点分别是Fl，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.则ZF1PF2的内角平分线与双曲线相切.证明：设P（x0,yO（yO关0），ZF1PF2的内角平分线PM交C的实轴于点M（t，0）.由题意得
21、PF1
22、
23、PF2
24、=
25、F1M
26、
27、F2M
28、exO+aexO-a=t+cc-t（其中e为双曲线的离心率，c2=a2+b2），解得t=a.2x0.所以ZF1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2,又x20a2-y20b2=l，则kPM
29、=b2x0a2y0.方程x2a2-y2b2=l两边对x求导得2xa2-2yy’b2=0,即y’=b2xa2y,则过点P与双曲线相切的切线斜率吨2义03270=1^1,故ZHPF2的内角平分线与双曲线相切.定理2证明：设P(xO,yO)(yO关0)，由引理2证明知ZF1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=b2x0a2y0,因为PH丄PM，所以ZF1PF2外角平分线PH的斜率kPH=-a2y0b2x0,则直线PH的方程为y-y0=-a2y0b2x0(x-xO)，令y=0得x=e2x0，卻m=e2x0，又xOa.则ma2+b2a.lkl+lk2=x0+cy0+x
30、0-cy0=2x0y0,k=kPM=b2x0a2y0
