高考试题的探究（二）：一道摸考选择压轴题的分析与探究

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1、一道摸考选择压轴题的分析与探究一道呈现简洁、极富韵味的好题，凝聚了命题者的智慧，往往让我们爱不释手、流连忘返，其较强的启发性、代表性、拓展性给人启迪.合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学试题(理)的选择题的压轴题就是一道独具匠心、意境幽深的好题，值得我们细细品味.一、试题再现定义在/?上的函数/(兀)满足：/(%)>1且/(无)+/'(兀)>1,/(())=5,其中f(x)是/(兀)的导函数，贝怀等式ln[/(x)-l]>ln4-x的解集为A.(0,-Ko)B.(^o,0)(3,+oo)C

2、.(-oo,0)(0,-Bx))D.(-oo,0)二、试题的条件和待求分析先分析题目的条件和待求.题设有三个条件：①/(兀)>1;②/(%)+/(%):③/(0)=5•待求是：不等式In[/(x)-l]>ln4-x.条件①显然是待求不等式有意义的保证，条件②/(兀)+/'(兀)是求解不等式In[/(x)-l]>ln4-x的依托，必然是解题的关键信息；条件③想必与不等解集的端点值有一定的关系.欲探求不等式的解集势必要研究函数的单调性，而结合题设可知，判断函数的单调性须借助于导数的应用，本题的难点自

3、然是如何根据条件②灵活地待解不等式对应的函数的单调性.你见过类似/(兀)+/"(x)的结构吗？注意到(町=e(e2x>j=2e2x,你有什么想法呢？[ln4-x,注意到左端含有“In”，运用逆向分析，亦即求解ln[/(x)-l]>ln^,它等价于0一1>土,即exf(x)-ex>4.好！自然将待解不等式ln[/(x)-l]>ln4-x与题设条件中/(%)+fx)建立起了联系•三、试题的解析待解不等式ln[/(x)-l]>ln4-x等价

4、于ln[/(x)-l]>ln^,贝9e4/(x)-l>-,即eV(x)-ev>4,令/z(x)=exf(兀)一ex—4,贝!)//⑴之丁⑴+幺了⑴广⑴—1]『，因为/(x)+r(x)>i,所以/zx)=[/(x)+r(x)-i]^>o,所以A(x)=exf(x)-“—4单调递增，又/(0)=5,所以/?(0)=e°/(0)-e°-4=0,故/z(x)=exf(x)-ex-4>0=/z(0)的解集为(0,+oo).故答案为A.评注题设条件中的/(x)>l是为了保证待解不等式ln[/(x)-l]>

5、ln4-%有意义，/(x)+r(x)>l是为了说明所构造函数的单调性，/(0)=5是便于借助于所构造函数的单调性求解待解不等式ln[/(x)-l]>ln4-x的解集，题设屮的条件不多不少，给的恰到好处.四、试题的变式与反思我们洞察了本题的因果关系，可否对其进行改造、得到系列的变式呢？进而探究提炼出此类问题的一般性的规律呢？变式1定义在R上的函数/(x)满足：/(无)>一1且2/(兀)+广(兀)+2>0,/(O)=e-l,其屮fx)是/(x)的导函数，贝怀等式ln[/(x)+l]>l-2x的解集

6、为A.(0,+oo)B.(yo,0)(3,+oo)C.(YO,0)(0,+oo)D.(yo,0)解析待解不等式ln[/(x)+l]>l-2x等价于ln[/(%)+l]>ln-

7、r,贝ij/(兀)+1>备，即0/G)+y,令h(x)=e2xf(x)+e2x-ef则丹(兀)=2/了⑴+戶广⑴+2戶=[2/(兀)+广(兀)+2]戶,因为2于(兀)+/'(兀)+2>0,所以//(%)=[2/(x)+fx)+2]e2v>0,所以A(x)=e2xf(x)+e2x-e单调递增，又/(0)=^-1,所以方(0

8、)=//(0)+/-幺=0,故A(x)=e2xf(x)+e2x-e>0的解集为(0,+8).故答案为A.变式2定义在/?上的函数/(兀)满足：/(%)>4且3/(兀)+f(兀)<12,/(1)=4+-，其中/©)是/⑴的导函数，贝怀等式ln[/(x)-4]>2-3x的解集为A.(1,4-00)B.(-oo,l)(2,+oo)C.(-co,l)(l,+oo)D.(^o,l)2解析待解不等式ln[/(x)-4]>2-3x等价于ln[/(x)-4]>ln—,则e/(兀)-4>士，即严1几兀)_4严2>

9、],令h(x)=eix-2f(x)-4e3x-2-1,则〃(兀)=3严2几兀)+严2广⑴_]2严2=[3/(兀)+/©)一12]严2,因为3/(%)4-/(%)<12,所以〃(兀)=[3/(x)+f(兀)-12]0-2<0,所以/2(x)=e3x-2f(x)-4e3x'2-1单调递减，X/(l)=4+-,所以力(1)=3幼'(1)+4幺一1=0,故h{x)=e3x-2f(x)-4e3x-2-l>0的解集为(-oo,l)・故答案为D.变式3定义在R上的函数/(兀)满足：/(x)>2且4/(兀)一/