一道中考压轴题的多种解法与思考.docx

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1、-_lwwv~．zhono~shucan．c

2、EM一2a——Y-在RtAAEM中，AE+AM。=EM，··y2+(2n—)一(2n—)，即y=-1。+，．·．s一·AD一·2n一(2AE+EK)Ⅱ一(2y+2a-x)a=一去q-ax+2a。．·．。s一一z+nz+2n2一一1(—a)+导n2，．‘．当DM——a，即M为AD中点时，四边形AEFD的面积最大，最大值是要n。．(特约编辑：袁合才张汉学)一道中考摩轴题曲参种摩罄四黟许盈蔺建华王永利(西北工业大学附属中学)题目：(2010陕西)问题探究(1)请你在图1(1)中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

3、(2)如图1(2)，点M是矩形ABCD内一点，请你在图1(2)中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．问题解决(3)如图1(3)，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC／0B，OB一6，BC一4，CD一4，开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计)，并且使这条路所在的直线z将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线z是否存在?若存在求出直线z的表达式；若不存在，请说明理由．(2)(3)图11(1)、图1(2)．第(3

4、)问难度大，要求高，且内涵丰富，本文给出此问的多种解法，并进行分析思考，供同行们参考．多种解法展示解法1(解析法，原参考答案)：存在所求的直线z．如图1(3)，过点D作DA上OB，垂足为A，点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心，故过点P的直线只要平分ADOA的面积即可．。．‘在OD边上必存在点H，使得直线PH将ADOA面积平分，．。．直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线z．设直线PH为y—kx+b，且过点P(4，2)，．。．2—4k+b，即6—2—4是，．‘．一是Iz+2—4志．’．’直线OD为Y一2x，r2—4是’y=kx+2_4解得·一．I．v一

5、2z，肝。寸]4一8kl一两‘．·．H(，)．‘．。PH与线段AD的交点F(2，2—2k)，’．．O<2—2是<4，．‘．一1<志<1．·．’SzxD．~一丢(4—2+2k)·(2一)一÷x÷×2×4，解得尼一—(志一舍去)．．’．6=8—2西，．·．直线z为：=—v／-~-3lz+8—2瓦解法2(相似法)：存在所求的直线z．根据直线z与梯形OBCD各边的相交点位置不同进行讨论．①若点E在边OB上，点F在边BC上，如图2．过点P作PQ上OB，垂足为Q，则PQ／BC，设OE=x．．。．△PEQ∽AFEB，图2一．·．器FB一EB’“F器，即B一6篙—Iz’，．·．FB=

6、×2．分析：本题第(1)、(2)问的关键是过矩形的对称中心作直线，即能把它分成面积相等的两部分，如图‘．‘S△EBF一寺s梯形cD，2019年第明(中旬)中学数学教学参考·FB·EB=1X(4+6)~4．．=10，即．×4孚二×2×(6一)一10，——Z．‘．z一1+(z—l一舍去)．又·．·：1+,／51~，FB：>4，．．不存在“点E在边OB上，点F在边BC上”的直线z满足条件．⑦若点E在边OBE，点F在边CDk，如图3．过点P作PQ上OB，垂足为；}”，"zbongshuca~O]1l·．’SmNNE~uo==1s梯形。一1O，1．2·OM·EM+(EM+BF

7、·BM=10，即专+1×(2z+)×(6_10，．‘一3f一4舍去)．．·．E(＼3，lo-2v1T)．u又‘．。P(4，2)，Q，延长线段QP交线段CDf点G．。．‘CD／OB．．。．△PFG△PEQ．图3·。s梯形EF(B一—1s．梯形∞c。，·s矩形a1×(4+6)×4·直线z的解析式为一—Vi5-3+8．．解法3(面积法)：存在所求的直线．如图6，连结BD、CP、OP，J过点P作PE_上_0D，PF上BC，直线z分别交OD、BC于点G、一H，连结GB，过点G作GM2、／，_．1．．—10．但S形(B—BC·BQ=4×(6—4)一8，．．不存在“点E在边OB

8、上，点F在边CD上”的直线z满足条件．③若点E在边OB上，点F在边OD上，如图4．’．。D(2，4)，P(4，2)，B(6，O)，．。．点D、P、B共线，．．点E与点B重合，点F与点D重合．1‘．‘s△I：)OF一÷·0B·Bc图4一12．但s△阱=is梯形船。=10，．。．不存在“点E在边OB上，点F在边OD上”的直线z满足条件．④若点E在边0D上，点F在边BC上，如图5．过点P作PQ上OB，垂足为Q，过点E作EM上0B，垂足为M、ENLBC，垂为N，EN交图5PQ于点K，则PQ∥BC．设OM=z，BF—a。·．D(2，4)．tanDOB=2⋯~E