教师眼中的一道中考探究题

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1、教师眼中的一道中考探究题宋彦波（江苏省连云港市新海实验中学连云港孙朝仁中学数学名师工作室）毋庸置疑，一道结构良好的中考探究题不仅要考查学生对“四基”的（基础知识、基本技能、基本的数学思想方法和基本的数学活动经验）理解层次和内化水平，还能够有利于让不同的学生的思维水平得到有效地展示，同时数学试题地设计还是今后教与学的“风向标”和“指南针”．纵览近几年的中考试卷，这样的试题频频出现，并且已经成为中考数学命题的一个亮点和特色．笔者在仔细研究大连市近几年的中考数学试卷时发现该市的中考几何探究题不仅敢于直面过去，而且题型传承、稳定

2、；不仅连续考查图形与变换的核心内容和思想方法，而且试题特色鲜明，亮丽创新．然而学生若对数学知识理解不到位或应有的知识方法储备不足，再加上对过往的解题经验缺乏自发体悟和反思，就很难把住问题的深层结构，透彻认识问题的本质的，短时间内使“问题”得以顺利解决就困难重重，这就需要教师平时“高观点”、“广视角”的看待和研究问题，把有选取的“慢镜头”回放给学生，逐渐积累，那么学生在微观上的解题、中观上的数学能力以及宏观上的数学思想等方面都会得到长足地发展．下面让我们以教师的“眼光”来打量2011年大连市第25题，也许能给我们的教学带来

3、诸多有益启示．一、问题再现：【2011年大连市第25题】在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．⑴当AB＝AC时，（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；图3⑵当AB＝kAC时（如图2），求的值（用含k的式子表示）．图1F图2二、试题赏析：显然，本试题的设计层次清楚，稳中求新，“生”中有“熟”，试题无论从已知条件给出或图形地呈现，都展现了一道由特殊到一般的探究性数学试题的鲜明特点，同时也暗含了一种研究问题的数学

4、思想方法．题目的结论能够由猜想得出，可以通过演绎进行推理证明，但是在证明过程中，对学生思维要求较高，同时题型的选择有利于发挥本问题模型的考查价值，区分度也非常明显，是一道兼顾公平，保障稳定，有利于选拔的原创性几何探究题．波利亚有一句名言——“掌握数学就意味着解题”，就是说，“解题”近于“掌握数学”同义语，由此可见解题的重要性．这里，我们想用教师的“眼光”来寻找解决这道试题的“切入点”，以期望在分析和解决问题的过程中能够有所总结，有所收获，特别是能够在“解题”过程中“学会怎样解题”，笔者认为坚持这样做，教师才有可能在实际教

5、学中有目的、有条件、有选择、有创造地施教于课堂，游刃有余地开发和挖掘学生的创造性思维，让学生在“火热的思考”中真正体会的数学“冰冷的美丽”，并在研究问题的过程中体会到数学无穷的魅力．三、教师分析：我们先来看问题（1），研究它的主要原因是基于它的特殊性（是等腰直角三角形）．很明显，问题（1）的第①问的答案为，问题（1）的第②问也容易猜测出，但是要想证明这个结论对老师或学生来说都有一定难度的，这是因为这两条线段位置比较分散，缺乏明显联系，想要沟通他们之间的关系，需要我们作出更多的努力，提取更多的储存，调动更多的智慧．通过仔细

6、分析题意我们可以捕捉到这样一条信息：“，且点D在线段BC上”．这条信息让我们自然联想到角平分线这个几何模型，这样就让点所处的位置“退”到让它与点重合时看看（如图3，“一个更特殊的问题”．G·波利亚语），这时得出是非常顺畅的，但是要证明还不是那么容易．但是这个特殊图形和特殊结论能在教师或解题者的心理和思维上能勾起哪些回忆呢？能够采取哪些尝试呢？3.1补全图形：如图4，延长、相交于点．根据，，说明是一个轴对称图形，其对称轴是线段所在的直线，所以容易证明()，所以；又因为，所以()，故，问题得证．补形的这种做法即有心理上需求（

7、图形缺一部分），还有对图形的“模式识别”（角的对称性），实质上是一种巧妙的“补短”．图5图6图43.2转换角度：如图5，让我们再来看这个问题，如果证明一是补短的话，那么我们的思维自然可以转向“截长”，那么取线段的中点，连结、，由证法一可知，与全等一定成立，这就带来一个问题，如何证明？如果走证法一作辅助线的老路，显然绕了一个弯子，而且情感上也不想这样做．若我们仔细分析题目提供的信息可以看出，是等腰三角形，则也必为等腰三角形，即，换句话说，点在线段的中垂线上，这样就产生了一个思路：取线段的中点，连结，则是等腰三角形，所以，又

8、因为，所以，得，又因为，所以，点又是线段的中点，由此得到是线段的中垂线，所以……，从而问题得证，这个思路虽然有些复杂，解题长度过长，但是毕竟有了一个新的思路，打开了一个新的视界，当然，伴随自己的还有些许陶醉感！3.3重新审视：至此，可以看到解决问题的关键是，让我们再琢磨琢磨，换一个思考角度，也许作为教师早已经有了新的