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《中考数学复习指导：一道几何题的探究及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道几何题的探究及应用一、原题再现如图1,四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的中点，ZAEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F求证AE=EF.（提示：取AB的中点G,连结EG.）图1二、变式与探究变式1若将原题的条件“点E是BC边上的中点”替换为“点E是BC边上的任意一点（E不与B、C两点重合）”，其他条件不变，如图2所示，此时还有AE=EF相等吗？解析考虑构造三角形全等来探析.在AB上取一点G,使AG=EC.连接GE,易得BC=BE・・・・ZBGE=45°,・・・ZAGE=1.35°.由CF是外角平分线知ZFCD=
2、45°,・・・ZECF=135°,从而ZAGE=ZECF,又ZGAE=ZCEF（因ZGAE、ZCEF均是ZAEB的余角），・*.AAGE^AECF,・AE=EF.变式2若将原题的条件“点E是BC边上的中点”替换为“点E在BC的延长线上”,其他条件不变，如图3所示，此时还有AE=EF相等吗？解析仍然构造的三角形全等来思考.图3延长84至G,使AG=CE,连结EG,・・・ABAG=BCCE,艮卩BG=BE,又Z.B=90。，・・・乙G=45°,而Z.FCE=45。，・・・jLG=乙FCE,由AD//BC得厶DAE=乙AEB,又乙DAG
3、=乙AEF=90°,可得乙GAE=乙CEF.AAGE当△ECF*AE=EF.4归纳与提炼上述问题中，当点E在正方形ABCD边BC或BC的延长线上，ZAEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F,利用构造出的AAGE,总能证得AAGE^AECF.从而AE=EF.于是我们将其作为基本形，不妨将例1、变式1、变式2三种情形分别称为基本形1、2、3・三、中考中的应用这三个基本形在中考试题的应用目前主要形式有：直接应用基本形，对基本形进行拓展应用，将基本形与其他知识融合來应用.例1如图4,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形
4、ABCD的两邻边重合，过E点作EF丄AE交ZDCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理市.图4解析由基本形3易证△HAE9ZCEF,所以AE=EF.点评本题考查了正方形、等腰三角形的性质和全等三角形的判定及性质，将基木形3隐藏在正方形和三角形的组合之中，虽难度不大，但题型新颖.例2如图5,四边形ABCD是边长为a的正方形，点G,E分别是边AB,BC的屮点，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)证明：ZBAE=LFEC；(2)证明：△AGF9AECF；(1)求AAEF的而积.图5解析⑴易
5、证：ZBAE=ZFEC；(2)由基木形1可证△AGE^ACEF；(3)市⑵知△ACF^AECF,所以AE=EF.因为ZAEF=90°,所以AAEF是等腰直角三角形.由AB=a,BE=a,根据勾股定理，得AE=—a,2c1点点52•••=亍X兀ax—a=—a•点评本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，涉及勾股定理和三角形面积公式相关知识点.此题三个问题梯度很强，前一问的结果是解答后一问的条件.例3(1)如图6,在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N
6、是ZDCP的平分线上一点，若ZAMN=90°,求证：AM=MN；图6图7(2)若将⑴中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图7),N是ZACP的平分线上一点，则当ZAMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由；(3)若将⑴中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD・・・X”，请你作出猜想:当ZAMN=°时，结论AM=MN仍然成立，解析(1)证法类似于基本形2,在边AB±截取AE=MC,连ME.易证△AEM^AMCN,所以AM=MN；(2)类比基本形2的构造方法，在边AB±截取AE=MC,连结ME.因为AABC是
7、等边三角形，AB=BC,厶B=乙ACB=60°,・•・乙ACP=120°.AE=MC,.・.BE=BM9・•.乙BEM=厶EMB=60°,从而得乙AEM=120°.•/CN平分乙ACP9:.厶PCN=60°,.・.乙AEM=厶MGN=120°,.・.厶CMN=180°-LAMN-/_AMB=180°一乙B-乙AMB=LBAM,••可得MEMg△MCN,AAM=MN,仍然成立；(3)乙4M/V与正多边形的内角度数相等，即乙AMN=5-2)180。n点评本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同吋考查了学生的归纳、类比
8、能力及分析、解决问题的能力，对基本形(1)的透彻理解是顺利解答(2)问的前提，(3)问是将(1)、(2)问中特殊推广到一般，发现“ZAMN与正多边形的内角度数相等”这一规律是解题关键.例4如图8,图9,四边形ABCD是边长为4的正方形
