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《中考数学复习指导：一道关于三角形几何题的变式探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道关于三角形几何题的变式探究一、原题再现题目如图1,在APAB屮，点C、D在边AB上，PC=PD=CD.ZAPB=120°,AAPC与△PBD相似吗？为什么？图1略解本题由PC=PD得出ZACP=ZPDB,利用三角形内角和定理与推论得出ZA+ZB=60°,ZA+ZAPC=60°,得出ZB=ZAPC,从而判定厶APC^APBD.点评本题容易得出ZACP=ZPDB.需要根据“两个角分别与同一个角的和相等，这两个角相等”再找出一对等角，然后运用“两角对应相等，两三角形相似”解决问题，旨在初步培养学生学会探寻满足三
2、角形相似条件的思路和方法.二、变式探究1、探究边之间的关系变式1如图1,在APAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD,ZAPB=120°,试证明：CD2=AC・BD.略解由原题的结论△片PCsNPRD,可得焉二器又pc=pd=cd'所以少=AC・BD.2、探究其它相似三角形变式2上题中共有儿对相似三角形？请分别表示出来，线段AP是哪两条线段的比例中项？线段BP是哪两条线段的比例中项？略解除了△APCs/XPBD之外，易证△APCs/ABP,△ABPs/PBD,共3对.进一步得出AP2=AC・AB,B
3、P2=BD・BA,即AP是AC和AB的比例中项，BP是BD和BA的比例屮项，点评判定三角形相似的条件的运用包括下列内容：（1）根据相似三角形的条件，由已知的边或角求未知的边或角；（2）根据所给的条件判定两个三角形相似；（3）根据所给条件判定两个三角形相似，再根据相似条件，求出相应的比例式或未知的边或角，显然，设计变式1和变式2的目的亦如（3）.教学时，作为教师要明确课本设置问题的目的，不能只满足于原问题的解决，要引导学生多想想还能得出什么结论.3、探究等腰三角形背景下相似的条件变式3如图2,在ZPAB中，点
4、C、D在边AB上，PC=PD.请你添加一个条件，使得AAPC与ZXPBD相似.p图2略解1乙APC=乙BPD,或Z4=厶或4C二BD.略解2Z.4=厶BPD,或/_PC=乙B,或需=焉'或P©=AC-BD-变式4如图2,在APAB中，点C、D在边AB上，PC=PD.试探究：当ZAPB与ZCPD满足什么关系时厶APC^APBD.略解若AAPC=乙B,或ZA=ZBPD,J1!JZUPCs4PBD.•/乙APC+乙?1.1=厶PCD=y（180°一ZCPD、,••厶B+乙A二180°-乙APB,故当乙APC+乙4
5、二乙B+Z.A时，AAPC=4即满足4-（1甜°-厶CPD）=180°-乙乙或乙APB=90。+~^CPD时，AAPCs4PBD.点评变式3具有一定的开放性，给学生较大的思维想象空间.题目并没有满足于特殊的等边三角形，而是引导学生进一步发现、交流、探讨：若是一般的等腰三角形能否判定三角形相似，如果不能还需要再满足什么条件.由条件只能得到ZACP=ZPDB,耍判定两三角形相似，既可以从边上寻找，也可以从角上探寻；而AAPC与APBD相似又存在着两种对应情况，即厶APC^ABPD与厶APCs/PBD,因此要引导
6、学生全面的考虑问题，在变式4的探究教学中，不妨从特殊的角度入手，如ZAPB和ZCPD分别等于110。和40°、120°和60°、130°和80°、140°和100°等能否判定△APC^APBD,再引导分析二者之间的数量关系，最后再猜想证明.4、探究动点A在直线CD上的相似三角形变式5如图3,在厶PCD44,PC=PD=CD,点A在边CD或CD的延长线上，ZAPG=120°,直线PG与直线CD相交于点B.AAPC与ZPBD相似吗？为什么？GBDC⑴PD⑵CB略解图3(1)中宙6PC+乙BPC=60。，乙B+乙
7、BPC=60。，可得乙APC=乙B；又MCA=5=60°t.A4PCsZ^PBD.图3(2)同理口J证.变式6在APCD中，PC=PD,点A在边CD或CD的延长线上，ZAPG=110°.ZCPD=40°,直线PG直线CD相交于点B.AAPC与ZXPBD相似吗？为什么？图4解法类同上题(略).点评教师利用几何画板演示运动的过程，通过将点A变化为直线CD上的一个动点,在满足PC=PD以及ZAPG=90°+-ZCPD的条件下发现三角形的相似关系、边之间的2关系仍然成立，再进行说理证明，体会“动中有静，变化中蕴含不
8、变”的辩证关系.三、综合运用1、与圆的综合变式7如图5(1),OO与厶AOB的边AB交于点C、D,ZA+ZB=ZCOD=60°,若AC=4,AO=2>/7,求ADOB的面积•略解要求ADOB的面积，需求出BD及BD边上的高.根据原题与变式1的结论,图4解法类同上题(略).点评教师利用几何画板演示运动的过程，通过将点A变化为直线CD上的一个动点,在满足PC=PD以及ZAPG=90°+-ZCPD的条件下
