中考数学复习指导：一道关于三角形的几何题目探究

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1、一道关于三角形的几何题目探究题目如图1,P是等边ZABC内部一点，ZAPB、ZBPC、ZCPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC为边长的三角形的三个内角的大小之比为多少？这是一道课外练习题，在一般学生自主完成作业后，教师并未立即进行讲解，而是通过展示、交流、探究活动，旨在鼓励已完成的学生，同吋发挥同伴引领的作用.然而，在实际探究活动中出现了一些意想不到的惊喜和困惑，从而将探究活动一步步引向深入.本文通过展示这一教学过程，谈谈由此引发的一些思考.教学过程实录生1：如图2,将含有PA、PB边的AABP绕点》顺时针方向旋转60°至A

2、CBD,连结PD,则厶CBD^AABP,・・・PB=DB,PA=DC.ZBDC=100°・VZPBD=60°,/.APBD为等边三角形，得PD=PB,三内角都等于60°,所以△PDC即以PA、PB、PC长构成的三角形，其中，ZDPC=120°-60°=60°,ZPDC=100°-60°=40°,ZPCD=180°-60°-40°=80°.于是所求比值为40：60：80=2：3：4.图2图3生2：如图3,延长BP至D,使PD=PC,连结AD、CD,ZCPD=60°,则厶PCD是等边三角形，・・・DC=PC=PD,ZPCD=ZPDC=60°.

3、AACD与ZBCP是对应的旋转对称图形，DA=PB,于是AAPD即为以PA、PB、PC为边长的三角形.其中，乙4DP=乙ADC--60°=乙BPC--60°=60°,AAPD=乙APC-・60。=360°x7三(5+6+7)-60°=80°,乙P4D=180°-/LADP-厶APD=40°,所求比值为40：60：80=2：3：4.生3：・・・乙APB：厶BPC：乙CPA=5：6：7,乙APB+厶RPC+乙CP4二360°,360°4-18=20°,于是厶APB=5x20°=100°,乙BPC=6x20°=120°,Z.CPA=7x20°

4、=140°.乙BAP+乙ABP=180°-A.APB=180°-100°=80°,同理，乙PBC+乙BCP=60°,jLPAC+Z.ACP=40°.于是比值为40：60：80=2：3：4.思考本题主要考察等边三角形和旋转的性质，根据已知条件乙4PB：厶BPC：LCPX=5：6：7,且厶APB+Z.BPC+乙CPA=360°,得乙APB=100%/CBPC=120。，乙CP4=140°.由于PA、PB、PC三线段比较分散，如何将它们组成一个三角形成为解题的关键.生1和生2通过添加辅助线方法，把三条分散的线段PA、PB、PC集屮在一个三角形中

5、，解答相当成功.由于生1同学的解法更简洁典型，我们将这种解答方法以他的姓氏命名，称作“孙氏旋转法”，大家同意吗？此时，大家显得兴奋和激动.如杲我们把类似ZAPB、ZBPC、ZCPA的角称为张角，那么生3直接计算这些张角的补角，依次是80°、60°、40。，从小到大排列，所求比值也为2：3：4.答案相同，这是巧合呢？还是必然？生1：如图2,丁乙CPD=LBDP=60°,/.PC//贝IJ厶PCR=厶CBD.厶PCD=乙PCB+/BCD=LABP+乙BAP=180°一Z4PB,再次通过旋转ZUPC,类似得厶PDC=.180°-LAPC.再次通

6、过旋转AAPC,类似得ZPDC=180°-ZAPC.又易得ZCPD=180°-ZBPC,可以说明生3的结果正确，只是没有说清理rfl.思考偶然中存在必然，生1同学肯动脑筋，分析得非常正确，生3等同学的解答虽不够完善，但其大胆探索的精神值得肯定.若将ZAPB、ZBPC、ZCPA的大小之比改为7：8：9呢？生4：用“孙氏旋转法”求得以PA、PB、PC的长为边的三角形的三内角的大小为45°、60°、75°,其比为3：4：5.而ZAPB=105°,ZBPC=120°,ZCPA=135°,三张角的补角为75°、60°、45°,两者比值相同，规律存在

7、.生5：将ZAPB、ZBPC、ZCPA的大小之比改为2：3：4,用“孙氏旋转法”求得以PA、PB、PC的长为边的三角形的三内角的大小为20°、60°、100°，其比为1：3：5.而ZAPB=80°,ZBPC=120°,ZCPA=160°,三张角的补角为100°、60°、20°,两者比值相同，规律存在.思考上述规律推广到一般情形是：若ZAPB：ZBPC：ZCPA=(n-l)：n：(n+1)时，以PA、PB、PC为边的三角形的图4三内角的比值如何？探究如图4,由已知，得乙APB=1地卩_卫-,n厶BPC=120。,乙/1PC=120(口Q.n

8、将△/IBP绕点B顺时针方向旋转60。至△CBD,连结PD由乙PBD+乙BPC=180°,得BD//PC,厶PCB二乙CBD,易证ECBD=厶ABP,・•・乙PCB=乙ABP.又乙BCD=乙B