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1、中考数学基本几何模型探究许多中考试题都是以教材的例题、习题为背景，经过命题专家巧妙构思编拟而成•中考试题的权威性和导向性是由命题专家独具匠心精心打造的，其思路和方法常具有类比迁移和拓广探索性.因此，教师在教学中若能引导学生提炼出基本几何模型，用基本几何模型解决问题,则能提高学习效率，提升创新创造能力.一、中考试题呈现和探源题目如图1,正方形ABCD的边长为3cm,分别从出发沿BC,AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2（：1"/秒.连结/1卩并过点0作!2£丄人卩，垂足为E.⑴求证：VABP:VQE4；（2）当运动时间/为
2、何值时，VABP三VQE4?⑶设VQE4的面积为y,用运动时间/表示VQE4的面积y•（不要求考虑f的取值范围）（提示:解答⑵⑶时可不分先后）图1图2此题动静分明，梯度清晰，较好考察了学生全等、相似、函数的有关知识.仔细观察，不难看出此题由课本题变化而来.课本原题为:如图2,四边形ABCD是正方形，点G是边BC的中点，DE丄AG.BF//DE交4G于点F,求证：AF—BF=EF.（人教版义务教育教科书八年级数学2013年10月第一版P62页第15题）将此题的条件“BFHDE交AG于点F”去掉，即可变为上述中考题.二、探寻基本图形和基本模型由课本
3、习题和中考题不难找出它们蕴含的基本图形和儿何模型:如图3,在正方形ABCD■h,点分别在边BC,CD上，AE,BF交于点O.图3H图4性质1若AE丄BF,则AE=BF（或BE=CF）.性质2若AE=BF（或BE=CF）,则AE丄BF.性质3若点0是屮心对称图形的对称屮心，且AE丄BF,则AE,BF把该图形的面积四等分.若将线段AE,BF分别平移到GH、EF处（如图4）,结论EF=GH仍成立.由于以上主要利用直角和互余的性质，不难猜想到若由正方形变为矩形，会有三角形相似和对应线段成比例.DFAD如图5,在矩形A心中，点分别在如D上，且DEMF,则
4、-=MN若将线段DE,CF分别平移到NM,HQ处（如图6）,结论——二QH二囂仍成立.由以上图形可提炼出如下模型：模型1正方形+线段垂直（或线段相等戶线段相等（或线段垂直）模型2屮心对称图形+线段垂直（或面积四等分戶面积四等分（或线段垂直）模型3矩形+线段垂直（或线段成比例戶线段成比例（或线段垂直）三、模型解题提升能力1、用模型1解决问题例1已知:如图7,在正方形ABCD,点E在边CD上，A0丄BE于点Q,DP丄A0于点P.（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段反度的差等于P
5、0的长.图8分析市模型1易得AQ=DP,得本题证明思路是证全等形，进而得AP=BQ,由全等形可得AQ-BQ=PQ或PD—4P二P0.例2如图8,正方形ABCD的面积为3cm2,£为BC边上一点，ZBAE=30。，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB,DC相交于点M,N,若MN=AE,则AM的长等于cm.分析由模型2可得丄AE,用勾股定理和ZBAE=30°,求得AE=2,则AF=1,所以AM=V332、用模型2解决问题例3问题探究(在图9中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分.(2)如图10,M是正方形ABCD内一定点，在图9屮作出两条直线(要
6、求其中一条直线必须过点M),使正方形ABCD的面积四等分，问题解决(3)如图11,在四边形ABCD中，ABHCD,AB+CD=BC，点P^AD的中点.如果AB=a,CD=b,且那么在边BC上是否存在一点0,使PQ所在的直线将四边形D图11A3CQ的面积分成相等的两部分?若存在，求出PQ的长;若不存在，说明理由.分析(1)据模型2,只要作两条过圆心且互相垂直的直线即可，如图9所示.(2)据模型2,过点M和正方形ABCD对角线的交点0作直线,分别交AD,BC于两点，再过点0作0M的垂线，交AB.CD于E,F两点，则直线OM,EF将正方形ABCD的面
7、积四等分，如图10所示.(3)如图11,延长BA至点E,使AE=b、延长CD至F点，使DF=a,连结EF.由BC〃CF,BC=BE=CF=ci+b,易证四边形BCEF是菱形，连结BF交AD于点M,则VMAB=MDF，得AM=DM,所以点M与P重合，点P是菱形对角线的交戌八Q•在BC上截取BQ=CD=b,则CQ=AB=a.设点P到菱形一边的距离为d,则Smp+Sqbp=~+BQ)=*(CQ+CD)d—J&CPQ丁•所以，当BQ=h时，直线PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分.3、用模型3解题例3探究证明(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条
8、互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图12,矩形ABCD中，EF丄GH,EF分别交AByCD于点E,F,GH分
