中考数学复习指导:一道关于圆的中考题解法探究

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1、一道关于圆的中考题解法探究题目如图1,AD是OO的切线,切点为A,AB是0O的弦,过点B作BC〃AD,交OO于点C,连结AC,过点C作CD〃AB,交AD于点D.连结A0并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且ZBCP=ZACD.(1)判断直线PC与的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.图1图2图3解(1)直线PC与圆0相切.法一:如图2,连结CO并延长,交圆0于点N,连结BN.VAB//乙BAC=乙ACD.'•・/_BAC=厶RNC,:.厶BNC=Z.ACD.•・•厶RCP=乙ACD,.・・乙RNC=乙R

2、CP.•・•C/V是圆0的直径,・•・厶CBN=90°,・•・厶BNC+乙BCN=90。,・•・厶BCP+厶BCN=90。,・•・乙PCO=90。,即PC丄0C.又点C在圆O上,・・・直线PC与圆0相切.法二:如图3,连结0C.vAD是圆0的切线,•/.AD丄04,即乙040=90°.•••BC//AD,・••L0MC=180。-LOAD=90°,即0M丄BC,/.MC=MBAB=AC9・•・=乙MAC,•'・乙E4C=2Z.M4C.又T厶M0C=2乙MAC,・•・厶M0C=厶BAC.•・•AB//CD,.・.MAC=乙ACD,・•・

3、Z.M0C=乙ACD.又厶BCP=厶ACD,・•.乙MOC=厶BCP.•・•/.MOC+Z.OCM=90°,/.乙BCP+乙0CM=90。,・•・"CO=90。,即PC丄OC.XV点C在圆0上,/.直线PC与圆0相切.(2)・・・4D是圆0的切线,/.AD丄04,即LOAD=90°.//AD,乙OMC=180°-LOAD=90°,即0M丄BC,MC=ME,/.AB=AC.在RtZUMC中,乙AMC=90°,4C=45=9,^=tbc=3由勾股定理,得AM=VAC1-MC2=/92-32=6Q.设圆0的半径为r,在RtZkOMC中,厶O

4、MC=90。,0M=AM-A0=6血-r,MC=3,0C=r,由勾股定理,得OH+MC2=0C即(6^2-r)24-32=r2,.*-解得『二辛⑦在AOMC和ZiOCP中,•・•AOMC=乙0CP,乙MOC=乙COP,.•・AOMC5△OCP,・・・OM__CMOC=PC*思考上述求半径的过程与结果都比较复杂,能否不求半径另辟蹊径求PC呢?笔者悉心探究,给出了另几种解法,以飨读者.思路1PC是APCM与APCA的公共边,点M在PA上,这使我们联想到构造“平行型相似三角形”求解.只需要过点M或点P或点A边作平行线,就可以得到六种解法,

5、较为简洁.另解1如图4,分别延长PC、AD交于点E,则CE=AE.・•・等腰ZUBCs等腰△EAC,AB•…・-匹即2.■AC^'AE■6**AE_9,:,AE=27;CE乜•又•••BC//AD.:.APMCsMAEMC■PCpn3=PE^P27=PC…AE27'PC+#2•/BC//AD,:.LACB=厶EAC,图427_7・另解2如图5,作ME〃AC交PC于点E,则ZACB=ZEMC.又vAB//CD,.LBAC=又乙BAC二厶ACD.D图5•••AMCEspn3ME即歹=v・・・ME//AC,.△PMEsAPAC,MEPE

6、an2PC-3AAC=密即歹=~PC~^:.PC=耳.PE丽ACMC-设EM=®则PE~3x9PC-EC=3+x.•••AB//CD,:.厶BAC=乙ACD,又乙BAC=乙BCP,•••PE//AC,:.乙PEC=乙ACB,•••bPECsACAB,:.PE^EC即¥二宁,解得久二冷'D另解3如图6,作PE〃AC交BC于点E,则厶PME^AAMC.另解4如图7,作ME〃PC交AC于点E,则乙EMC=乙PCB=厶ACD=乙BAC.又厶MCE二乙ACB,・・・bMCE5“ACB,CEMEMCanCEME3f疋即T=V=9^・•.CE=29

7、ME=3.AE=AC-CE=7.tME//PC,:.^AMEsAAPC,・坐-空即2_Z.PC_?7•'PC~ACf^PC■9,7-另解5如图8,作PE〃MC交AC延长线于点E,则乙EPC=/LPCB=LACD-LBACt厶PEC=乙力C8,.・・△PEC—△人CH,.CEPCPEaiiCEPCPE…BC-AB"AC^6・9-9,设PC=孙则PE=x,CE=yx,AE=9+y%•••PE//MC,:.A4A/C-△力PE,MCACan39••PEF即厂=7~2~*9+亍解得北=y.APC=y.另解6如图9,作AE〃PC交CB延长线于点

8、E,则AEDEZ^AEC=乙PCB=Z^ACD=乙BAC.又乙ACE=乙BCA,.MCEs4BCA,CEAEACnnCEAE9即v=v=丁21=C£~CM=y.s厶PMC,•*ACABBC'27AE=CE=牛EM・••

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