中考数学复习指导：一道典型中考数学题解法赏析

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一道典型中考数学题解法赏析已知：线段0A丄0B,点C为0B屮点，D为线段0A上一点.连结AC,BI）交于点P.⑴如图1,当OA=OB,且Q为04中点时，求兰的值；PC⑵如图2,当OA=OB,且竺=丄时，求tanZBPC的值.AO4（3）如图3,当AD：AO：OB=:n:2石时，直接写出tanZBPC的值.图2D联想到平行线分线段成比例定理或平行于三角形一边的直线PC和其他两边（或两边的延长线），所构成的三角形与原三角形相似（当然，由于已知条件中有中点这个条件，还可以联想到三角形中位线定理，或者三角形的面积），因此应设法构造平行线.图8图9图10 图11思路一：构造中位线9M图12图13解法1：连结AB、CD,如图4,则CD是zMOB的中位线.:.CD//AB,JLCD=AB.:.'CPDs'APB.2・AP—ABt••——乙•PCCD思路二：构造平行线解法2：过点C作CM〃BD交A0于M,如图5.・・・C为03屮点，由平行线分线段成比例定理，得DM=M0,AP=ADKDM・・・D为04屮点，且DM二MO,:.AD=2DMf即AP=ADPCDAf解法3：过点C作CM〃/10交BD于M,如图6. 解法4：过点D作DM//BO交AC于M,如图7.解法5：过点D作DM//AC交B0于M,如图&解法6：过点。作OM〃BD交AC的延长线于M,如图9.解法7：过点。作OM//AC交3D的延长线于M,如图10.解法8：过点4作AM//B0交BD的延长线于M,如图11.解法9：过点B作BM//AO交AC的延长线于M,如图12.（解法3至解法9的过程留给同学们自己完成）思路三：利用面积解法10：连结OP,如图13.T点C为OB中点，D为OA中点，:・Src尸Shocp，S“ad尸Shodp・••sHBCP^SHOC尸SHADP=SHODP.⑵要求tanZBPC的值，注意到ZBPC及其对顶角所在的三角形不是直角三角形，且在两个直角三角形小也无法找到与ZBPC相等的角，因此需要以ZBPC为内角构造直角三角形.另外，为了找出所构造的直角三角形中两直角边的关系，仍然需要作出问题(1)中的辅助线.解法1：过点C作CE丄BD于E,过点D作DM//BO交4C于M,如图14,则DMADICOAO4设AD=k(k>0)f贝ijAO=4k=OB,DO=AO-AD=4k-k=3k.•・•C为OB中点，・•・BC=CO=2k.在RtZSBOD中，由勾股定理，得BD二J问斗加二血供尸二％•••DM//BO,・・・DP_Dif_DifI:・BP=4k.BPBCCO4易证△BECsABOD・••竺=竺=竺，即空■竺■竺.DOBOBD%4£% ACE=.2hBE=.6k.:.EP=BP-BE=4k-1.6k=2Ak.・•・tanZBPC=箜-〔总-1.XPZ4b2事实上，过点C作CE丄3D于E后，再作一条与图5〜图12中的任何一个图形一样的辅助线，都可以得到一种解法，这样我们就可以得到8种解法.而且在解题过程屮，我们又发现了一种比较简捷的方法. 如解法1中，由BD=5k,竺=2,得PD=k.而AD=kf于是PD=AD,BPAZBPC=ZAPD=ZA.从而tanZBPC=tanA=®Z=l.这是我们在按照常规方法解题的过程M2屮，由于发现线段的相等关系而得到的简捷求法，这是意外的收获.因此我们也可以只作一条辅助线，辅助线的作法同图5〜图12中的任何一个图形的辅助线作法一样，于是我们又得到问题(2)的8种求法.(3)当AD：AO：OB=l:n:2亦时，在tanZBPC的值时，我们仍然可以像解决问题⑵那样，通过作辅助线求出tanZBPC的值，但由于己知线段间的数量关系以字母比值的形式给出，这给问题的求解带来极大的不便，而且题目要求直接写出tanZBPC的值，问题(2)I"这个条件下得到的，要想求出当也已经求出了tanZBPC的值，因此我们应该设法将问题⑶与问题⑵联系在一起.问题(2)屮的tanZBPC值是在“0A二0B,且_=_AO4AD：AO：“OA=OB,OB=:n:2石吋伽刘卩C的值，就要设法将条件^OA=OB,且_=_^=1"发生联系.通过观察不难发现，当«=4时，诂二4,此时AD：AO：OB=1：4：4,正好满足“OA=OB,且丝=丄”，因此当h=4时，必然有AO4tanZBPC=l.而tanZBPC=l=?，且当,?=4时，JT=2,因此我们有理由猜测：当2247AD：AO：0B=:n:?&时，tanZBPO亜.评注：本题是一道考查平行线分线段成比例、三角形相似、勾股定理及三角函数的综合题，由三个小题组成，这三个小题的难度呈梯度上升，是一道典型的“递进型”中考题.其中问题(1)中的解法1是根据已知条件中有两个中点，从而想到三角形的中位线定理而作的辅助线，是问题(1)的最简捷解法.解法10也是根据中点想到的辅助线作法.而解法2至解法9是为了利用平行线分线段成比例或构造相似三角形而作的辅助线，其屮图5、图6、图7和图8(所作的辅助线没有与己知线段的延长线相交)解答问题(1)常见的辅助线作法.在解答问题(2)时，因为ZBPC及其対顶角所在的三角形都是非直角三角形，而且从已知条件中我们无法再找出与ZBPC相等的角，为了求tBtanZBPC的值，我们应该首当其充地构造ZBPC所在的直角三角形，于是过点C作CE丄BD于E,至于过其它点作另一条辅助线，一是为了求出线段PD、BP的比值，从而顺利找出所构造的直角三角形中两直角边的关系，另外这也是由“递进型”中考题的特点(下i题要充分用到上一题的结论或解题思路)决 定的.在求解过程中，我们发现PD二AD,于是ZBPC=ZAPD=ZA1而厶4在直角三角形屮,且正切值容易求出，于是把求tanZBPC转化为tanA,因此解答问题(2)只需作出与问题⑴类似的辅助线，而无需构造直角三角形，这也是我们在按照正常思路求tanZBPC的过程中发现的巧妙解法.问题(3)的设置比较巧妙，解答时要注意让条件-AD：A0:08=1:n：2缶"与问题⑵中的条件“04二OB,且竺=2”发生联系，并根据问题⑵中结论猜想11!问题(3)中的结论，AO4我想这也是命题者的意图吧！