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《中考数学复习指导：一道中考数学填空题的解法例析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、EBD图1HC(F)一道中考数学填空题的解法例析纵观近儿年中考数学试卷，不难发现，大多试卷都在填空题的压轴题处设置一道难度较大的试题，笔者就一道中考填空题进行了深度思考，现解密于下，供读者鉴赏.问题如图1,在直角梯形ABCD屮，ZA=90°,ZB=120°,AD=^3,AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得ZDEF=120°.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；(2)若射线EF经过点C,则AE的长是•【答案】6；2或5.第(1)小题较为简单，本文仅研究第(2)小题的解法.解法1如图2,过点B作丄DC,延长至点M,过点C作CF丄SB于点几则BH二AD="
2、5.•.•乙ABC=,AB//CD,:.乙BCH=60°,tan60°c~cos60°■2，设AE=%,则BE=6-x.在Rt^ADE中，DE=^AD&一兀过于复杂,求解实乃不易(还有两解x7-打+3+AE2=a/STZ,在Rt/^EFM中，EF=/{ER+RM)?+丽•=y(6+1)2+iai2=y(7-x)2+3.•••AB//CD,:.乙EFD=乙BEC.乙DEF=Z5=120°,arnraBCBE•••卜EDF5hbCE、：.UTj6-%BCEFy9即二/3+?/(7^x)2+3解得久=2或5.2评注此解法所列方稈〒^v3+x2=弩不合题意I.故根据图形特点，笔者尝试另
3、解，想到了下面两种解法:G/E/BDC(F)解法2如图3,作CG丄DE交DE的延长线于点G,则乙GEC=60°.设EG=%，则CG二y/3x,-易知4EDAsNDCG.图3••-DC：CG'即7一屁，77/.DE=——9DG=x+——•X£x在RtAGDC中，（久+右）+（屁）2=72,解得％二眉或X二咅，.・.DE=丽或DE=2万,从而AE=2或5.AEBDC(F)解法3如图4,设EB=%,则=6-■易知4EDCsNBCE..DE=DC_CEBC~CEBE1图4GnDE7CE即T=ce=T^•・•.CE=圧、DE=2込,.在RtAAPE中,解得％=4或兀=1（%=7舍去），
4、于是AE=2或5.-评注上述三种解法都是借助相似三角形求解，但涉及的方程较为复杂（超出课标范围），学生往往难以解答.那么，有没有其它解法能避开繁琐的方程呢？笔者另辟途径，又得到另几种解法，愿与大家分享.解法4如图5,在梯形ABCD外作ZCDO=ZDCO=30°,则ZDOC=120°・以点O为圆心，OC为半径作OO交AB于点E、N,贝！J乙DEC=LDNC=120°,符合题意.作CH丄于点H,交DC于点M,17则EH=NH,DM=CM=*CD=才,OM=EO=DO=20M二芈,OH=OM+HM=6在Rt^OEH中，eh=Joe'一6护=斗乙.・.AE二AH-EH=2,或仙=AH+
5、HN=5.故AE=2或5.*评注此解法巧妙地利用辅助圆，直接确定了点E的位置,股定理就简洁地求出了结果.解法5如图6,过点C作CM丄AB于点M.则CM=AD=J3.•・•LABC=120°“B〃CD,Z.MBC=60°,CM:.BM===1,BC=2.tan60°'设AE=%，则BE=6-x.在RtACEM中，CE2=CM2+EM2=3+(7-x)2.•/AB//AD,:.乙BEC=乙ECD,又乙DEF二厶B二120°,・•.AEDFs氏BCE.・••焉=BPCE2=DC・EB,无需建立方程，仅通过勾HC(F).*•3+(7-x)2-7(6-x),解得尤=2或5,即”E=2或5
6、.评注解法5是解法1的改进，同样的相似三角形选择了与原解法不同的对应边（关键是公共边CE用两次），列出比例式，得到的是一个一元二次方程，求解简易.解法6如图7,作EM丄CB交CB的延长线于点M.0C(F)图7'设BM=◎由乙EBM=60。,得BE=2x,EM=爲x,,MC=2+x,AE=6-2x.•・•厶EBC=120°,・•・乙BEC+厶BCE=120°.•••乙DEC=120°,•••乙AED+厶BEC=120°,•••厶BCE=乙AED.又^EAD二乙CME=90°,ADEM二MC9二分号,解得X=2fX于是也=2或5.解法7如图8,作等腰梯形EBCG,EG交DC于点G,
7、贝9厶EGC=厶BCD=60°,AEBDG.・.乙EGD=120°=乙DEC。设AE=x,则BE=6-x,GC=8-%,DG=DC-CC=z-图8在RtZk,4ED中.DE2=AD2+AE2=3+x.•••ZEDG=厶CDE;厶EDGs厶CDE,DGDE…DE一DC'EPPE2=DC•DG,3+x-7(x-1),解得％=2或5,即AE=2或5.解法8如图9,在AB±取点P,使ZAPD=60°.由AD=>/3,得AP=,PD=2,乙EPD=120°,.•・厶PED+乙PDE=120°.•・•
