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《中考数学复习指导：常见的数学转化方法例析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、常见的数学转化方法例析转化是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题化为一类已经解决或比较容易解决的问题的思维方法.数学转化思想无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换.常见的转化方法有换元法、等积转化法、数形结合法、函数法、特殊值法等.一、换元法换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个变量去代替它，从而简化问题.换元的本质是转化，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理.例1如果a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，则a2+2a-b的值为・分析a、b是
2、一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，可用求根公式求出两根a、b,再把两根代入代数式a2+2a-b求值，但这样的计算太过麻烦，一是根的结果复杂，二是要分两种情况讨论两根的取值，三是根的平方计算不易，因此，此种方法不可取.我们可用等价代换和整体代换来轻松解决这一问题.解・・5是一元二次方程x2+3x-2=0的根，.*.a2+3a-2=0,即a2=2~3a,a2+2a_6=2—3a+2a—b=2—a—b=2—(a+b).又Ta、b是一元二次方程x2+3x-2=0的两个根，a+b=—3.Aa2+2a-b=2-(a+b)=5.二、等积转化法求线段的长，有吋可以转化为点线距离，再把相应
3、的线段放人三角形中，根据同一三角形面积不变，而面积乂有多种表示，往往由等面积这一等式，转变成线段间的关系.例2如图1,在等腰三角形ABC屮，底BC为10,腰为13,求腰上的高BD.图1分析要求高BD,可放入直角三角形中来解，但直接在某个三角形中解不出，需间接地求出其它量，如可在两个直角三角形ABD与CBD屮得出等式AB2-AD2=BC2-CD2.再有AD+CD=13,AB=13,BC=10,从而求得AD和CD,然后再在直角三角形ABD或直角三角形CBD中用勾股定理求得BD的长.这一方法要解一个二元方程组，计算量较大，其实，本题可借助同一图形血积相等这一结论，来简化解题.解过点4
4、作AE丄BC,垂足为風•・•AABC为等腰三角形，・•・£为EC中点，.・.BE二丄=5・2在RMBE中，AB二13,BE=5,例3如图2,P为边长为a的正三角形ABC内任一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别为D、E、F,求PD+PE+PF.分析P为正三角形ABC内任一点，是一动点，PD、PE、PF是三条动线段，而PD+PE+PF就是三条动线段Z和.但PD、PE、PF又是三条垂线段，可联想到三角形的高.因此，连接PA、PB、PC,ABC就被分割成三个三角形，即APAB、APBC与APCA,从而就有大三角形的面积等于三个小三角形面积之和；再把PD+PE+PF看成一个整体，便可求
5、得结果.解连结PA、PB、PC,*'•S△磁-2■用a••又・・・PD、PE、PF分别垂直AB.BC.CA于儿S“AB=—AB•PDAPC4=*C/1・PF.今"卄*…*…几即4-Aa2=】a(PD+PE+PF),-.・・PD+PE+PF=y^a.三、数形结合法数形结合法就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起來，从而降低原命题的难度，使问题容易得到解决.例4求y=
6、x+l
7、+
8、x-l
9、的最小值.分析本题可根据分类讨论，分三种情况去掉绝对值符号，写出函数解析式，再求出每一情况下函数的最小值，最后取三个最小值中最小的.但那样做太麻烦，我们可用数形结合的方法，把卜-询看成是数轴上数x
10、到数a的距离，原问题就转变成在数轴上找一点,使得这点到一1与1的距离之和最小.1»解如图3,当XV—1吋，y>2;71当一lWxWl时，y=2；当x>l时,y>2,••Ymin_2・四、函数法函数思想是一种重要的数学思想，一些儿何问题、方程问题、不等式问题和某些代数问题，可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题.例5如图4,己知半径为2的OO与直线/相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上连结PA、PB,设PC的动点，过点P作直线，的垂线，垂足为C,PC与OO交于点D,的长为x(211、考虑到函数关系式的应用，特别是二次函数的应用，本题可先用含x的代数式分別表示PD与CD,再写出PD.CD的表达式，整理后得到关于x的二次函数，然后根据白变量A的取值范围，利用二次函数的性质，求出所求式子的最大值及此时x的取值.解过点0作0E丄PD,垂足为・・•PD是00的弦,0E丄PD,・••PE=ED.又厶CEO=乙ECA=Z.0AC=90°,••・四边形O4CE为矩形，・••CE=OA=2.又PC=为，・・・PE=ED=PC-CE=x-2,•・•CD二PC-PD=x-2(一2)=4-x,
