中考数学复习指导：勾股定理常见考点分类例析

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勾股定理常见考点分类例析勾股定理是数学中最重要的定理之一，学好勾股定理对我们的学习有很多的帮助，为了使同学们更好地复习本章，本文从部分省市的中考题中撷取数例加以说明，共同学们复习时参考.考点1:利用勾股定理求面积例1图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形•若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94分析：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，得正方形A、正方形B的面积和为正方形甲的面积；正方形C、正方形D的面积和为正方形乙的面积；正方形甲、正方形乙的面积和为正方形E的面积；即正方形E的面积为正方形A、B、C、D的面积和.解：最大正方形E的面积为32+52+22+32=47.故选C.点评：本题看似无法求解，但抓住直角三角形中的勾股定理，把正方形E的面积转化为四个正方形A、B、C、D的面积和，使得问题简捷获解.考点2:利用勾股定理求周长例2图甲是我国古代著名的“赵爽弦图''的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在RMABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三图甲图乙匚IS0 角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是.解析：结合图甲、图乙可知：AD=BC=5,DE二AC二6,DF=2DE=2x6=12.在Rt^ADF中，由勾股定理得，aQaL+DF，二Ara?=13.所以这个风车的周长为4EF+4AF=4x6+4x13=76.点评：勾股定理反映了三角形三边之间的数量关系，因而只要存在直角三角形，就可联想到勾股定理，进而利用它来求一些线段的长.考点3：确定点的位置例2如图3所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.zC的平分线与AB的交点解析：在^ABC中，因为BC2+AC2=6002+8002=1000000=10002=AB2，根据勾股定理的逆定理可知,ABC为直角三角形，且zC为直角.显然AB的中点到点A、B、C的距离均相等，故选A.点评：本题是勾股定理的逆定理在实际问题中的应用.考点4:利用勾股定理求最短路程例4如图4,长方体的长为15，宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）A.5V21B.25C.10V5+5D.35解析：可将该长方体的右表面翻折至前表面，然后运用勾股定理求解即可. 连接AB,线段AB的长度即为最短距离(如图5所示)•由勾股定理可知AB=^AD2+BD2=a/202+152=25.故选B.点评：运用勾股定理解题时要注意转化思想的运用，具体说来，如把四边形转化为三角形、通过把一般三角形问题转化为直角三角形问题，把立体图形问题转化为平面图形等等.考点5:验证勾股定理例5如图6是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a、b,斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的示意图.(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.F51"7PS]O解析：方法一解:(1)如图7.(2)证明：：•大正方形的面积表示为(a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+4x-ab.2(a+b)2=C2+4x—ab.2.a2+b2=c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.方法二解：(1)如图&(2)证明：•.•大正方形的面积可表示为：c2.又可以表示为:—abx4+(b-a)2.2abx4+(b-a)2,.-.c2=a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.点评：本题考查了勾股定理的验证，方法多种多样，有兴趣的同学们不妨探讨其他拼图及证明方法.