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时间:2019-10-21
《中考数学复习指导:勾股定理常见考点分类例析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
勾股定理常见考点分类例析勾股定理是数学中最重要的定理之一,学好勾股定理对我们的学习有很多的帮助,为了使同学们更好地复习本章,本文从部分省市的中考题中撷取数例加以说明,共同学们复习时参考.考点1:利用勾股定理求面积例1图1是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形•若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94分析:根据勾股定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,得正方形A、正方形B的面积和为正方形甲的面积;正方形C、正方形D的面积和为正方形乙的面积;正方形甲、正方形乙的面积和为正方形E的面积;即正方形E的面积为正方形A、B、C、D的面积和.解:最大正方形E的面积为32+52+22+32=47.故选C.点评:本题看似无法求解,但抓住直角三角形中的勾股定理,把正方形E的面积转化为四个正方形A、B、C、D的面积和,使得问题简捷获解.考点2:利用勾股定理求周长例2图甲是我国古代著名的“赵爽弦图''的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在RMABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三图甲图乙匚IS0 角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是.解析:结合图甲、图乙可知:AD=BC=5,DE二AC二6,DF=2DE=2x6=12.在Rt^ADF中,由勾股定理得,aQaL+DF,二Ara?=13.所以这个风车的周长为4EF+4AF=4x6+4x13=76.点评:勾股定理反映了三角形三边之间的数量关系,因而只要存在直角三角形,就可联想到勾股定理,进而利用它来求一些线段的长.考点3:确定点的位置例2如图3所示,A、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在()A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.zC的平分线与AB的交点解析:在^ABC中,因为BC2+AC2=6002+8002=1000000=10002=AB2,根据勾股定理的逆定理可知,ABC为直角三角形,且zC为直角.显然AB的中点到点A、B、C的距离均相等,故选A.点评:本题是勾股定理的逆定理在实际问题中的应用.考点4:利用勾股定理求最短路程例4如图4,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是()A.5V21B.25C.10V5+5D.35解析:可将该长方体的右表面翻折至前表面,然后运用勾股定理求解即可. 连接AB,线段AB的长度即为最短距离(如图5所示)•由勾股定理可知AB=^AD2+BD2=a/202+152=25.故选B.点评:运用勾股定理解题时要注意转化思想的运用,具体说来,如把四边形转化为三角形、通过把一般三角形问题转化为直角三角形问题,把立体图形问题转化为平面图形等等.考点5:验证勾股定理例5如图6是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a、b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的示意图.(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.F51"7PS]O解析:方法一解:(1)如图7.(2)证明::•大正方形的面积表示为(a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+4x-ab.2(a+b)2=C2+4x—ab.2.a2+b2=c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.方法二解:(1)如图&(2)证明:•.•大正方形的面积可表示为:c2.又可以表示为:—abx4+(b-a)2.2abx4+(b-a)2,.-.c2=a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.点评:本题考查了勾股定理的验证,方法多种多样,有兴趣的同学们不妨探讨其他拼图及证明方法.
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