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《中考数学复习指导：一道经典题的“裂变”》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道经典题的“裂变”纵观近几年各地的中考题，发现有些题目都是以某一问题为背景，进行加工改造、拓展延伸、迁移演变而成的，这些变化后的题日有吋数量挺多，我们不妨称之谓题目的“裂变”.现举例如下.一、试题回放如图1,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF■.■h•—・・I・■■u•■丿H，RFC和GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍,试确定ZHAF的大小,并证明你的结论.这是1998年北京市屮学生数学竞赛试题，其简略证明如下:令AE=a,AG=b,CF二x,CH=y,则有a+x=b+y,变形为a-b=y-x.两边平方，得a2-2ab+b2
2、=y2-2xy+x.由题意知矽=2ab,代入上式，得a-2ab+62=y2-4ab+x,/.a+2ab+62=y2+x2,'即(a+b)2=y2+x2.对照图形可知，(A£+.4G)2=FH2,AE+AG=FH,.•・DH+BF=FH.①由此可将NDAH绕/!点顺时针旋转90。到的位置，显然rr、B、F共线，=F丹，易得△FAHwAF/1/r,・•・乙HAF=乙AFH'=45°.②二、试题“裂变”1、加工改造使用探究以上证明中有①、②两个结论产生，显然此两结论在正方形的背景下可以互相推出.题目1边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,EF与GH的交点为P(
3、参见图1).(1)若AG=AE,证明：AF=AH；(2)若ZHAF=45°,证明：AG+AE=FH；(3)若RtAGBF的周长为1,求矩形EPHD的血积.简析(1)是一种特殊的状态，显然由△ABF^AADH可得；(2)是根据原题证明中的①、②两个结论可以互相推出直接引用，证明略；(3)设BF=x.BG=y,GF=m,贝0x+y=1-rnfx2+y2=m2,2xy=(1-m)?-亦=1一2m.・•・矩形EPHD的面积为：(1-%)(1-y)=1—(1—m)+—m1•—■■■■2-题目2如图2,在正方形ABCD中，E是AB±一点、F是AD延长线上一点，且ADGRC图3DF=BE.图2⑴求证：
4、CE=CF；(2)在图2中，若G在AD上，且ZGCE=45°,求证：GE=BE+GD；⑶运用(1)(2)解答屮所积累的经验和知识，完成下题：如图3,直角梯形ABCD屮,AD〃BC(BC>AD),ZB=90°,AB=BC=12,E是AB上一点，且ZDCE=45°,BE=4,求DE的长.简析本题将原题的证明过程直接引用，使问题简单而具有层次性.⑴⑵证明略；(3)根据以上经验，由题目条件首先将图3补全为正方形ABCG,贝IJ有DE=BE+DG.设DE为■则DG=%-4,/.AD=12-DG=16-%,AE=&在RtAADE中，有(16-x)2+82=X2,x=10.2、拓展延伸使用再探究图1中
5、，进一步易得ACHF的周长=正方形边长的2倍.作AK丄FH,K为垂足，因为△FAH^AFAH*,所以AK=AB,同时易得△ABF9AAPF.AADH^AAPH.题目3如图4,在正方形ABCD屮，点E、F分别在BC、CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问点E、F移动过程中：(1)ZEAF的大小是否有变化？说明理由；(2)AECF的周长是否有变化？说明理由.图4简析(1)由以上的探讨，可知本题是已知ZEAF=45°,则AH=AB的逆命题.由AABE^AAHE和厶ADF^AAHF不难得出，所以ZEAF=45°不变；(2)AECF的周长=正方形ABCD的边长的2倍也不变.题目
6、4如图5,AABC中，己知ZBAC=45°,AD丄BC于点D,BD=2,DC=3,求AD的长.探究并解答下列问题:B图5(1)分別以AB、AC为对称轴，画出△ABD、AACD的轴对•称图形，D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点，证明四边形AECF是正方形；(2)设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.简析⑴利用轴对称的性质，不难得出ZEAF=90°・又ZE=ZF=90°,且=AF=AD,/.四边形AEGF是正方形；(2)在RlZkBGC中，BG=%-2,CG=%-3,.・.(%一2)2+(X-3)2=(2+3)2,%=6.题目5⑴如图6,AABC内接于00,
7、AD丄BC,OE丄BC,OE=-BC,求ZBAC的度数；(2)将AACD沿AC折叠为AACF,将AABD沿AB折叠为ZABG,延长FC和GB相交于点H.求证：四边形AFHG是正方形；(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.简析本题是与圆的有机结合，除⑴利用圆的知识求解外，(2)(3)与上题相同.(1)ZBAC=45°；⑵证明略；(3)AD=12.再探究图1中,连结肋，与AFSAH分别交于点,再连结MK、NK.易证ZUBMw5AKM
