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《中考数学复习指导：一道经典几何例题在中考真题中的演变》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道经典几何例题在中考真题中的演变以课本例题为原型，从题设、结论及图形结构等方面进行全方位、多角度的探究与联想，可以演绎出不少靓丽的试题.本文举例阐释如下.原题:如图1,AB是G»O的直径，弓玄AD平分ZBAC,过点D的切线交AC于点E,有怎样的位置关系，为什么？解析本题是一个几何中常见的结论探究性命题，典型的“先猜后证”型的几何说理问题，猜想两直线的位置关系，一般不是“垂直”就是“平行”，观察图1,显然可以猜想到DE丄AC.由于DE切OO于D,连接OD则有0D丄DE,只要说明AC〃OD,即可证明DE±AC.这道习题每年都
2、被许多省市的命题专家，复制改编到屮考试卷屮，为什么此题有无穷的魅力？这里让我们以中考题为例来共同欣赏这道题的美丽和神奇.一、交换课本习题的条件与结论，制造其逆命题1、将原题中“切线”的条件与“垂直”的结论交换例1已知，如图2,直线MN交00于A,B两点，AC是直径，AD平分ZCAM,交OO于点D,过点D作DE丄MN于点E.求证：DE是的切线.MEA图2分析因为点D在0O±,根据“经过半经的外端与圆半径垂直的直线是圆的切线”,连结OD,只需证明DE丄OD,即ZODE=90°即可.证明连结0D.•/OA=ODy乙OAD=AOD
3、A.■又・.・4D平分乙CAM,.•・/LOAD=/.DAE,Z.0D4=Z.D4E,・•.DO//MN.又vDE丄MN、:.A.DEA=90。，・••厶ODE二90。，即OD丄DE.•・•D在00上,・•・DE是00的切线.评注证明一条直线是圆的切线通常有如下两种方法：①当直线过圆上某一点，常常连结这点与圆心构造半径，然后说明直线垂直于这条半径，即有“点”连“半径”，证“垂直”.②当直线与圆的公共点不确定时，常过圆心作直线的垂线，说明圆心到直线的距离等于半径，即无“点”作“垂线”，证“垂线段等于半径”.2、将原题中“角平
4、分线”的备件与“垂直”的结论交换例2如图3.AB为OO的直径，EF切OO于点D,过点B作BH丄EF于点H,交OO于点C,连结BD.⑴求证：BD平分ZABH；甘丿(2)如果AB=12,BC=8,求圆心O到BC的距离.分析(1)连结OD,根据切线的性质以及BH丄EF,即可知OD〃BC.由内错角相等及等边刈•等角、角的代换即可证得；(2)思路1过点O作OG丄BC于点G,则利用垂径定理即可求得BC的长，然后在直角AOBG屮利用勾股定理即可求解.思路2连结AC,在直角AABC中利用勾股定理求出AC,再利用三角形中位线定理求出OG.解
5、(1)如图4,连结OD.E图4vEF是GO的切线，0D丄EF.又•.・BH丄EF*OD//BH,・•・厶ODB=乙DBH.tOD-OB,乙ODB=Z.OBD9・••乙OBD=厶DBH,・・・BD平分厶ABH.⑵解法1过点D作OC丄BC于点G,贝ijBC=CG=4.在RtAOBC屮，OG二/OB2-BG2=X~4力=2届.解法2连结AC,过点O作OG丄BC于点G,则BG=CG.•・•AB为OO的直径，・•.乙ACB=90°,/.AC=J届-曲=y§0=4点.又・・・OG是/1BC的中位线，二OG-=尹=2点二、等价替换例题屮
6、角平分线的条件，并赋予角的度数及圆半径的大小，探究线段间的数量关系且BC=CD・孩AD的征K线空切线例3如图5,在AABC中，ZBAC=30°,以AB为直径的＜30经过点C,过点C作O0的切线交AB的延长线于点P,D为圆上一点,PC于点E,连结BC.(1)猜想OB和BP的数量关系，并说明理由；(2)若OO的半径为2,求AE的长.解析(1)连结OC.・・・PC切OO于点C,AZOCP=90°.VOA=OC,ZOAC=30°,.ZOAC=ZOCA=30o,AZCOP=60°,AZP=30°.在RtAOCP中，OC=」OP・2
7、又OB=OC,・・・OB=loP,2AOB=BP；(2)VOO的半径是2,结合⑴结论OB=-OP.2・・・AP=3OB=3x2=6.:.ZCAD=ZBAC=30°,・・・ZBAD=60°.VZP=30°,・・・ZE=9(T,在RtAAEP+・AE=」AP=—X6=3.22三、利用平移变换，将切线变成OO的割线，并将证明题演变成计算题例4己知直线/与0O,AB是。O的直径，AD±/于点D・(1)如图6(1),当直线/与OO相切于点C时，若ZDAC=30°,求ZBAC的大小；(2)如图6(2),当直线/与(DO相交于点E、F时
8、，若ZDAE=18°,求ZBAF的大小.图6解析(1)本问与课本习题实际上是同一命题的两种不同的表达方式，前者是从计算的视角提出问题，后者是以逻辑推理的视角设计的证明题，其思维方法与过程是一脉相承的.仿课本习题的解题过程可以获得CA平分ZBAD,即ZBAC=ZDAC，从而有ZBAC=30°；(2)是由切
