一道基本题在中考命题中的推广.pdf

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1、50
(2011年第1期
初中版)







复习参考
一道基本题在中考命题中的推广430050
武汉第三寄宿中学
谢志刚

推广是数学研究中的重要手段之一,数学自身的发BC=1,
ABC=90
,把一块含30
角的三角板DEF的直展在很大程度上依赖推广.我们总是在已知知识的基础角顶点D放在AC的中点上(直角三角板边为DE,长直角上,从实际概念或问题推广出各种各样的新概念、新问边为DF),将直角三角板DEF绕D点逆时针方向旋转.题.在中考命题中,推广也是一种常见的技术.推广命题(1)在图3中,DE交AB于M,DF交BC于N,证明就

2、是扩大命题的条件中有关对象的范围,或随之扩大结DM=DN;论的范围,即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物(2)继续旋转至如图4的位置,延长AB交DE于M,的研究.它能更好地体现数学内部的和谐统一,更好地延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,揭示数学问题的本质特征.请给出证明;若不成立,请说明理由;本文从一道我们比较熟悉的问题出发,通过推广,得到一组新的中考试题或模拟试题.大家也可以从中看到中考命题的一般规律.1
问题原型如图1,正方形OGFH的顶点O与正方形ABCD的中心重合,在正方形OGFH绕点O顺图3

3、

图4时针旋转过程中,OG,OH分别(3)继续旋转至如图5的位置,交BC,CD于M,N两点.求证:延长FD交BC于N,延长ED交ABOM=ON.图1于M,DM=DN是否仍然成立?若下面给出几种证明方法.方法1
通过证
OBM

OCN或
OCM

ODN成立,请给出证明;若不成立,请说得OM=ON;明理由.方法2
过O点分别作OP
CD,OQ
BC,垂足分点评
问题(1),(3)是图2的别为P,Q,通过证
OPN

OQM得OM=ON;直接移用,问题(2)中直角
EDF图5方法3
连接MN,取MN的中点R,则有OR=MR=分别与
A

4、BC直角边的延长线相交,不管如何旋转,结CR=NR,由圆的定义知O,M,C,N论
DM=DN
永远成立,且
图变法不变
.四点共圆,由
OCN=
OCM得试题2
(2008年武汉)正方形ABCD中,点O是对OM=ON.角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF仔细分析图1的本质特征,可
CD于点F.如图6,当点P与点O重合时,显然有DF以得到一个等价的基本图形,如图=CF.2,若
BCD=90
,BC=CD,O是斜图2(1)如图7,若点P在线段AO上(不与点A,O重边BD的中点,则有OM=ON.合),PE
PB且PE交CD于

5、点E.2
推广命题
求证:DF=EF;2.1
将图2中的直角
MON绕顶点O旋转
写出线段PC,PA,CE之间的一个等量关系,并证试题1
(2007年临沂)如图3,已知
ABC中,AB=明你的结论;
复习参考







(2011年第1期
初中版)51(2)若点P在线段OC上(不与点O,C重合),PE
CE(1)如图11,当=1时,EP与EQ满足怎样的数EAPB且PE交直线CD于点E.请完成图8,并判断(1)中量关系?并给出证明.的结论
,
是否分别成立?若不成立,写出相应的结CE论.(所写结论均不必证明)(2)如图12,当=2时

6、EP与EQ满足怎样的数量EA关系?,并说明理由.CE(3)根据你对(1),(2)的探究结果,试写出当=EAm时,EP与EQ满足的数量关系式为,其中m的取值范围是(直接写出结论,不必证明).


图6






图7






图8简解
(1)
该题的关键是要证PB=PE.在图7中,过P作GH
BD,分别交CD,CB的延长线于G,H,这样就得到基本图形2.从而PE=PB,再由正图11








图12方形的对称性知PB=PD,所以PD=PE,又因为PF
简解
(2)如图12,过E点分别作EG
BC,EH
CD,故DF=EF.A

7、B,垂足分别为G,H.
PC-PA=2CE;EPEHEH可证
EHP

EGQ,
==,(2)如图9,同(1)过P作GHEQEGCG
BD,分别交CD,CB于G,H,这EAEHEP1又

AHE

EGC,
=,
=.ECCGEQ2样就得到试题1的图4,于是PEEP1=PB,同理,结论
仍成立.但结(3)=(0

8、CA,CB所在的直线上,沿直线绕顶点P旋转.EF将
CEF翻折,使C点恰好图132.2
将图2中的中点O的位置一般化CEOA落在AB上的点O处,求证:=.试题3
(2008年徐州)如图CFOB10,一副直角三角板满足AB