一道全国高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

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1、一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设是的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，求证：AK平分BC.贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明.湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平面几何证明方法全书》三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。在证明过程中，要用到以下引理：（1）.若点为圆外一点，过点引圆的

2、两条切线方程为：；切点弦的方程为：.（2）.若点为椭圆外一点，过点引椭圆的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.（3）.若点为双曲线外一点，过点引双曲线的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.（4）.若点为抛物线外一点，过点引抛物线的两条切线方程为：；切点弦的方程为：.1.竞赛题的解析证法证明：如图2，以旁切圆的圆心O为原点，直线OD为轴，过O点垂直于OD的直线为4/4轴.建立直角坐标系，设旁切圆方程为，则点D的坐标为（0，R），直线BC的方程为.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。设点A的坐标为，则有切点弦EF的方程为………①两条切线AF、AE的方程为…②在方程①中，令，得，则点的坐标为.直线的方

3、程为：……③.将代入方程③解得.设与交于点，点的坐标为.把代入方程②并整理得：.设点、的坐标分别为，由韦达定理得，中点的横坐标为，的中点坐标为.与点的坐标相同.所以点为的中点，即直线平分.2.竞赛题在圆锥曲线中的推广定理1：如图3，椭圆旁切于的边外，D、E、F分别是椭圆与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。证明：设点A坐标为，点D坐标为，AK与BC相交于点M.则过点D的切线方程为：………①由引理2可知过点A的两切线方程为：………②切点弦EF的方程为………③直线DO的方程为：………④联立③、④可得K点坐标为：4/4.直线AK的方程为：…

4、……⑤联立①⑤可得点M的横坐标：设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立①②可得关于的一元二次方程：由韦达定理可得点M与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以M为线段BC的中点，即直线AK平分BC.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。定理2：如图4，双曲线旁切于的边外，D、E、F分别是双曲线与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。定理2的证明与定理1的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述.定理3：如图5，抛物线旁切于△ABC的BC边外，D、E、F分别是抛物线与BC、CA和AB的切点，过点D作x轴的平

5、行线与EF交于点K，则有AK平分BC.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。证明：设点A坐标为，点D坐标为，AK与BC相交于点H.则有，过点D的切线方程为：………①由引理2可知过点A的两切线方程为4/4………②切点弦EF的方程为………③联立可求得点K坐标为：，进而可得直线AK方程为：……④联立①④可得点H的横坐标：设点B、C的横坐标为、，B、C的中点横坐标为，联立①②可得关于x的一元二次方程：由韦达定理可得即点H与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，所以H为线段BC的中点，即直线AK平分BC.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。若是的内切圆，其他条件不变，结论依然成立

6、，用解析法证明的步骤完全相同.这是证明一类三角形旁切圆、内切圆问题的方法之一.这种方法的优点是思路统一,可以推广到圆锥曲线中.4/4