中考数学复习指导：一道几何题目的演变

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1、一道几何题目的演变“变式教学”为学生架起了一座知识的桥梁，引导学生从“变”的现象屮发现“不变”的本质；从“不变”的本质中探究“变”的规律，使学生更深刻地理解数学知识，对提高学生思维能力、应变能力大有裨益.所谓变式训练就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件、结论、图形等产生新的情境，引导学生从多角度、多方面去探究问题.现以一道课本习题为例，谈谈如何进行变式训练.例题如图1,已知点C为线段AB上的一点，分别以线段AC、BC为边作正AACM和正△BCN,求证：AN=BM.图1简解由等边三角形的性质可以得出AACN,AMCB两边及其夹角分别对应相等，从而△ACN^AMCB,得出线段AN与线段

2、BM相等.点评三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL,全等三角形的对应边、对应角相等.演变1植入新问：不改变原命题的条件和结论，在原命题屮植入新的问题，拓宽对图形性质的进一步研究.(1)求证：DC=CE；(2)图2屮，线段AN与BM相交于点0,求ZB0N度数；(3)若连结0C,如图3,则0C平分Z

3、A0B吗？请说明理由.图2图3解析(1)由厶ACN^AMCB,可得ZDNC=ZEBC,又ZDCN=ZECB=60°,CN=CB,得厶DCN^AECB,结论得证，在此基础上，若连结线段DE,如图2,可求证DE〃AB.(2)由ZBON=ZAOM=ZNAB+ZABM=ZCMB+ZCBM=ZACM而得出结论.(3)过点C作CG丄AN,CH丄BM,由厶ACN^AMCB,得到两三角形面积相等，由AN=BM,得至lJCG=CH,再利用角平分线定理即可得证.演变2克隆变式：原命题条件、结论不变，将正三角形变为正方边形、菱形等.(2)①将原题中“AACM和ABCN两个等边三角形”换成“两个正方形”(如图4),

4、AF与BD的关系如何？②如果点C在线段AB的延长线上，a中结论是否成立？请作图，并说明理由.解析(AF与BD有数量关系和位置关系.四边形ACDE、CBGF是正方形，AC=CD,CF=CB,ZACF=ZDCB=90°,可证△ACF竺△DCB(SAS),得AF=BD；延长AF交DB于点G,根据ZFAC=ZBCD,对顶角相等，得ZBGN=ZMCB=90°,即BD丄AC.②先证△AFC^ADBC可得结论成立.评注此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，以及学生的推理能力.(3)上述问题中，若将其中一个正方形固定，使另一个正方形绕点C任意旋转一个角解析抓住运动中不变的元素，证明思路与

5、(4)类似.(2)(2014年南通中考题)如图7,点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG,且菱形AEFGs菱形ABCD,连结EB、GD.①求证：EB=DG；②若ZDAB=60°,AB=2,AG=能，求GD的长.解析①利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；②连接BD交AC于点P(如图&),贝ijBP丄AC.根据ZDAB=60°,BP=-AB=1,2得到EP=2a/3；利用勾股定理求得EB的长，即可求得线段GD的2.点评本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等、对应角相等.演变3变为

6、探究题：将原命题的题设、结论进行弱化处理，变为条件开放或结论开放题；或在保持图形的某些性质不变的情况下，将图形中的某些元素(点、线等)运动起来，从形外到形内再到形外，在运动中寻找不变关系或变化的规律.(2)已知：如图9所示，在厶ABC和厶ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,且点B、A、D在一条直线上，连结BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.①求证：(i)BE=CD；(ii)AAMN是等腰三角形.②在图9的基础上，将AADE绕点A按顺吋针方向旋转180°,其他条件不变，如图10.请直接写出①中的两个结论是否仍然成立.解析①(i)由ZBAC=ZDAE,等式左右两边都加上Z

7、CAE,得到一对角相等，再由AB=AC,AF为公共边，利用SAS可得出三角形ABE与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出BE=CD；(ii)rflM与N分别为BE,CD的中点，且BE=CD,可得出ME=ND,由△ABE与△ACD全等，得到对应边AE=AD,对应角ZAEB=ZADC,利用SAS可得illAAME与厶AND全等，利用全等三角形的对应边相等可得出AM=AN,即AAMN为等腰三角形.②结论