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《中考数学复习指导：一道平行线问题的演变》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道平行线问题的演变本文对一道平行线问题进行演变，并从多角度求解，以期帮助同学们提高思维能力.原题女口图1,已知4B〃CD,BE平分ZABC,CE平分ZBCD,身寸线BE与CE交于点E.求证：BE丄CE.分析一由角平分线的定义，易得Zl、Z2与ZBCD、ZABCZ间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题.图1解法一（整体转化法）BE平分乙ABC,1乙2=—/LABCy<同理Z1=+厶BCD,AZ.1+Z2=y（厶BCD+乙ABC）.又AB//CD,・•・乙BCD+Z.ABC=180°,・•
2、・Zl+Z2=yX180°=90°..・.厶E=180°-（ZI+Z.2）=180°-90°=90°.即BE丄CE.分析二作平行线，把ZE分成两个角，并将这两个角与Zl、Z2联系起来，进行有效转化.解法二（分解转化法）如图2,过点E作EF〃AB,交BC于点F,又AB〃CD,・・・AB//EF//CD.・•.乙BEF=乙ABE二乙2=+乙4BC,・•・乙FEC=厶ECD=2.1=+乙BCD,・••厶REC=乙BEF+厶FEC=y（乙ABC+乙BCD）.又由AB//CDM乙ABC+乙BCD=180°,・•.厶BEC=y-x180°=
3、90°,即BE丄CE.分析三要求ZE,只须求出ZE的邻补角，延长BE后，出现新的ACEM（如图3）,ACEM的三个内角与ABCE的三个内角的度数之和相等，用对应思想便可解决问题.解法三（对应转化法）延长BE交CD于点M.•/AB//CD,乙CME=厶ABE-乙2,又乙1+乙2+乙BEC=Z-ECM+Z.CME+厶CEM=180°,而Z1=厶ECM,厶2=厶CME,・•・厶BEC-L.CME.又乙BEC+厶CME=灿。,・•・厶BEC=yx180°=90°,即BE丄CE.总结把原命题概括成一句话就是：两条平行线被第三条直线所截，一
4、对同旁内角的角平分线互相垂直.通过对原命题的多种解法的深入探讨，可以加强知识间的联系，实现方法和技能的融会贯通，从而培养思维的深刻性和灵活性.变式一探求原命题的逆命题例1参照图1,两条直线AB、CD被第三条直线BC所截，所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直，探求AB与CD的位置关系.解BE丄CEj乙1+乙2=90°.又BE、CE平分厶ABC、厶BCD,・•・乙1=昇BCD,厶2=・•.乙1+乙2=*（乙BCD+乙ABC）=90°,/.LABC+厶BCD=180°,■/.AB//CD.说明进一步可把原命题的条件与结论进行梳理，
5、总结如下：在图1屮，直线AB、CD被BC所截，①AB〃CD,②BE平分ZABC,③CE平分ZBCD,④BE丄CE,以上任三个作为条件，都可以推出第四个.变式二在原图基础上，增加另一组同旁内角的平分线例2如图4,已知AB〃CD,BE、CE、BF、CF分别是ZABC、ZBCD、ZNCB、ZMBC的角平分线，BC不与ND垂直，则图中与ZFBE相等的角共有个.解由原题，可知ZE=90°,同理可得ZF=90°・又ZFBE=ZFBC+ZCBE=-(ZMBC4-ZCBA)=汕。=9。。，同理可得ZFCE=90°.AZFBE=ZE=ZF=ZFC
6、E=90°,即与ZFBE相等的角共有3个.说明本题可表述为：两条平行线被第三条直线所截，两对同旁内角的平分线组成的四边形是矩形.变式三在原图基础上，增添两个相等的角或一组平行线例3如图5,ZGEF与ZDFE的平分线交于点H,AB〃CD,ZB=ZD,求证：EH丄HF.证明VAB//CD,:.乙人=乙C,由已知，厶B=乙D,・•・zLAEB=乙DFC.又乙AEB=厶GEF,乙DFC=厶MFE,・•・乙GEF=Z.MFE,・・・EG//FD9则乙GEF+厶EFD=180。・又EH、FH为角平分线,・•.乙HEF+厶EFH=y(Z.GE
7、F+厶EFD)=yx180°=90°即BE丄CE.说明在原题的基础上添加平行线后，得到一对内错角相等，并结合其他条件进一步得出BG〃MD,这样就将看似复杂的问题逐步转化成已经解决过的问题(即原命题).变式四改变部分条件，设置成有梯度的综合题例4已知，如图6,直线AB〃CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EM、FN分别平分ZBEF、ZCFE.(1)求证：EM〃FN；(2)如图6,ZDFE的平分线交EM于G,求ZEGF的度数；(3)如图7,ZBEG、ZDFG的平分线交于H点，①试问：ZH与ZG的度数是否存在某种特定的数量关系
8、？并证明你的结论；②若ZBEH、ZDFH的平分线交于Q点，根据①的结论猜想ZLQ与ZG的度数关系.解・••乙BEF=厶CFE.又分别平分乙BEF、乙CFE,.•・2乙FEM=2厶NFE,即厶FEM=乙NFE,;.EM//FN.（2）由原题得厶EGF=90°.（3
