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《中考数学复习指导：一道中考题的多证与思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道中考题的多证与思考问题情境如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点,图1AE平分ZDAM.探究展示（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.拓展延伸（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.证明（1）方法一（补短法）如图1,延长MC到F,使CF=40,连结EF,•.・DE=EC;RtZUDE空RtAFCE,・•.厶DEA=乙C£F,.・.A、E、F共线,又AD//CF,・・・乙DAE=Z
2、.F.•/乙D4E=Z.MAE,:.乙MAE-Z.F,・•・AM=MFf.AM=MC+AD.方法二（补短法）延长AD到Q,使DQ=MC,连结EQ（图略）.易证RtAEDQ^RtAECM,・•.乙MEC=Z_QED,ME=EQ,•・・M、E、Q共线.又AE平分/.DAM,/.AM=hQ二AD+DQ=AO+MC.方法三（截长法）在AM上截取AP=AD,连结EP、EM（图略），易证△APE竺ADE和厶EPM^AECM.・・・AM=AP+PM=AD+MC.方法四延长AE与BC的延长线相交于点F（图略），易证RtAADE^RtAFCE,以下同方法一.方法五过点P作EP丄
3、AM,垂足为P（图略），易证RtAAPF^RtAADE,以下同方法三.方法六连结MF并延长与AD的延长线交于点Q（图略），易证AEDQ^AEGM,MC=DQ,ME=EQ.又AE平分ZMAD,・・・AM=AQ=AD+MC.点评方法一和方法二运用补短法，都要证明三点共线，这是学生容易忽失的；方法四利用了“AD〃BC且DE=EC”构造全等三角形，间接地达到了补短之目的；方法五表面上与方法三相同，实质上是不同的，方法三运用的是（SAS）来判定两个三角形全等，方法五运用的是（AAS）來判定两个三角形全等；它是根据角平分线上任意一点到角的两边的距离相等构造全等三角形，间接达
4、到截长之目的.（2）AM=DE+BM成立.方法一（截长法）如图2,在AM±截取MF=BM,连结BF并延长分别交AF、AD于点G、H.•••AM=MF9.AF=AH,NBMC平分乙4G丄FH,・•・乙ARH=乙DAE,CD=乙BAH,AB-AD,••・4ABHw△Q4E,.・・AH=DE.・•・AMAF+MF=A"+EM=DE+BM.方法二（补短法）如图2,延长MB到N,使BN=DE,易证△ABN^AADE,・•・乙NAB土乙EAD,厶N=乙AED=乙BAE,••・Z.N=•NAM,/.AM=MN二BM+BN二BM+T）E.方法三（旋转法）如图2.将ADE绕点A
5、顺时针旋转90°,得到△ABN,AABN^AADE,以下同方法二.方法四（利用基本图形）如图2,过点B作BH丄AE,分别交AM、AF、AD于点F、G、H,易证厶RAH竺^ADEy:.AH=DE.又•・•处平分Z.DA叭可得.4F=AH,而厶AHF=厶AFH=厶RFM=乙BM=FM9;.AM^AF^FM-A.H+FM=DE+BM.方法五（相似形）如图2,连接ME，由(1)的方法六可知厶MEC=乙D4E,RtZUDEsRtAfCAf,ECAD*•MC~DE':.EC=2MC,曰卩DE=2MC,亦即MC=DE-MC,・•.AD-BM二DE-MC,:.AD+MC=BM+
6、DE.由（1）知AMADMC,・•・AM=DE亠BM.点评方法二和方法三要优于其它三种方法，仅就二和三而言，表面上类似，但思路并不相同.后者通过旋转，由旋转不改变图形的大小，直接可知厶ABN^AADE,相比之下更简单.方法五由前面的证明可知⑴⑵都成立.・・・AD+MC=DE+BM,从而推得DE=2MC,而AD=2DE,联想到△ADE-AECM,这种思路正是平面几何中的分析法.(3)AM=AD+MC成立，AM=DE+BM不成立.假设AM=DE+BM,延长MB到G,使BG=DE(图略)，贝】JAM=MG,有Z.G=/.GAM=MED,・•・乙DAE=乙BAG,.•・
7、Rtj^ADEsRt△磁，而BG=PE,/.AB=ADf这与己知条件矛盾，故AM=DE+BM不成立.思考通过以上的多种证法，给了我们以下启示：①必须关注学科的核心内容，务实基础在本题的讨论过程中，学生对正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形金等的判定、相似三角形的判定和性质等知识点的掌握情况都能得到检验，因此老师在教学中要关注这些学科核心内容，不仅要让学生知其然，更要让学生知其所以然.②注重渗透数学思想方法，提升素养数学思想方法是学科的灵魂，要让学生在具体内容的学习中不断领悟，最后升华为数学认识.本题中，“平行线加中点构造全等三角形”、“证明线段a=b+c
8、,用截长补短法”,“正多
