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《中考数学复习指导：关于一道初中几何开放题解答的研讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于一道初中几何开放题解答的研讨例题如图1,在平行四边形ABCD中，ABHBC,E、F为对角线BD上的两点.要使四边形AECF为平行四边形，在不连结其它线段的条件下，还需要添加的一个条件是这是一道常见的条件开放型试题，答案不唯一.旨在通过添加条件，复习巩固平行四边形的性质与判定及其灵活运用，培养学生发散思维，发展合情推理能力和演绎推理能力,切实提高学生发现问题、解决问题的能力.有学生添加一条件是ZEAF=ZECF,这个答案究竟是错的，还是对的？留下了“悬疑”，本文对此问题作一研讨.一、初步验证如图2,打开几何画板，在平行四边形
2、ABCD中，ABHBC,在对角线BC上取一动点E,连结AE、CE.在AE、CE的同侧作ZEAF)=ZEDF2=Za,分别交BC于F】、F2.当Za不变，用鼠标拖动点E使Fi与F2重合吋，可以发现四边形AECF是平行四边形；当点E不动，用鼠标改变Zot的大小使得F］与F2重合时，可以发现四边形AECF为平行四边形.故认为添加ZEAF=ZECF这一条件一定能使四边形AECF为平行四边形，但这只是推测，耍使学生信服，还需给出证明过程.图2二、探究历程方法1联想由平行四边形ABCD易得点A、C到BD的距离相等，有Saaef=Sacef
3、,如图1.又添加条件ZEAF=ZECF,由此联想到当两个三角形满足以下四个条件：①、两三角形的周长相等；②、两三角形的面积相等；③、两三角形有一边相等；④一边相等的两三角形中相等的边的对角对应相等时，就可以证得这两个三角形全等.因此欲证明该题只需证得①，问题转化为求证AAEF与ACEF的周长相等，故只需证AE+AF=CE+CF.令AE=m,AF=n,CE=p,CF=q.由S△肚尸=ymnsina,S4CEF:1=尹gsina,得mn=pq・由余弦定理，得EF2二m2+n2-2mncosa9又EF1二p?+_2pgcosa,/.
4、m+n=p1+q2,m+n=p+q.于是可得AAEF与ACEF全等，因为ABHBC,故平行四边形ABCD不可能是菱形,也就说明AE不可能与CE对应，只能△AFF^ACFE,从而问题得证.优化方法1可以说明问题的正确性，但其中还涉及了课标之外的知识，且比较繁琐,因而可在其基础上加以改进与优化.于是过点E作EG丄AF于点G,过点F作FH丄EC于点H,如图3.图3C由厶EAF=乙ECF,得NAEGs△CFH,七FHCH.宜EGAG设AG=m,EG=n9则CH=km,FH=kn.又由Sr阳得j-AF・EG=j-CE・FH,有4F•EG
5、二CE•FH,AFFH.…CE"EG"设CE二s,则4F=ks,根据勾股定理，得EF2=EG2+FG2=EH2+FH2,即/+(ks-m)2=(s-km)2+(kn)2.化简得n2+k2s2+zn2=s2+k'm2+k2n2,n+k2s2+zn2-s2-k2m2-k2n2=0,(s2-m-n2)-(52-m2-n2)=0,(k2-1)(52-rrt-n2)=0.得A=1,或％=-1(舍去)，或/=m2+n(由ABHBC可推得4E工EC,故舍去)，.•・CE=AF.^AEG竺厶CFH,易得四边形AECG是平行四边形.方法2对称变
6、换图形变换是解决几何证明题的基本方法，因此本题可将AAEF沿BD翻折，从而使问题得以转化.如图4,作A点关于BD对称点G,连结EG、FG、CG,易得△AEF^AGEF.又点A、C到BD的距离相等，故得点G、C到BD的距离相等，AGC//BD.又添加的条件为ZEAF=ZECF,・・・ZECF=ZECF.・・・E、G、C、F四点共圆.由平行弦所夹的弧相等，得F,C=FC,故得四边形EFCC是等腰梯形，ALGEF=ZEFC.又ZAEF=LGEF,・・・ZAEF=ZEFC.・・・AE〃FC,易得四边形AECF是平行四边形.图4优化方法
7、2通过翻折将问题巧妙转化，但其屮四点共圆的知识超出了课标，于是可作如下调整：如图4,在上述刈称变换的基础上，易得ZEGF=ZECF,ZEHG=ZFHC,AAEHC^AFHC.又Sagef=Sacef,得Saceh=Sacfh,故两个三角形的相似比为1,得AFHC^AFHC,得EH=FH.有ZEFH=ZFEH,ZEFA=ZFEH,得AF〃CE,从而使问题获证.方法3正难则反通常我们在解数学题吋，习惯于正向思维.但事实上有些问题从正面人手较难，而从问题的反面出发，逆向思考，这就是“正难则反”的解题策略.故本题可运用反证法，从ZBA
8、E与ZDCF的大小关系入手.若ZBAEHZDCF,则有ZDCF>ZBAE,或ZDCFvZBAE.不妨设ZDCF>ZBAE.则在ZDCF内部作ZGCD=ZBAE,使CG交BD于G,连结AG、CG,如图5.易得四边形AECG是平行四边形，有AE也CG.过点F作HF=XZAE,连结
