一道高考解析几何题的探究、推广及应用

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1、一道高考解析几何题的探究、推广及应用题目（2014年广东高考）己知椭圆C:x2a2+y2b2=l（a〉b〉0）的一个焦点为（5，0），离心率为53,（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（X0,yo）为椭圆外一点，且点P到椭圆c的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.本题答案：（1）椭圆C的标准方程为x29+y24=l；（2）点P的轨迹方程为x2+y2=13.笔者解完题后总喜欢对结论进行观察、分析、猜想、研宄，希望能从中找到一些有价值的东西.解完此题后，笔者惊喜地发现:直线13就是该椭圆中的a2+b2.由此我们猜测：对于一般的椭圆是否也有此性质？逆命题如何呢？笔者带着这个想法进行研究

2、，现将研究的主要过程和结论整理出来与大家交流.一、问题的推广性质1过椭圆外一点P作椭圆C:x2a2+y2b2=l（a〉b〉O）的两条切线PA、PB，且ZAPB=90°，则P点的轨迹方程为x2+y2=a2+b2.下面给出一个不同于标准答案的证法：证明：设P（x,y），A（xl,yl），B（x2,y2）,易知切线PA:xlxa2+ylyb2=l，切线PB:x2xa2+y2yb2=l，由kPAkPB=-l得出yly2xlx2=-b4a4.又因为y21=b2(l-x21a2)，y22=b2(l-x22a2)，所以得出X21x22=a6(x21+x22)-a8a4-b4，联立方程xlxa2+y

3、lyb2=l,x2xa2+y2yb2=l，解得x=y2-ylxly2-x2yla2,y=xl-x2xly2-x2ylb2.所以经过化简得出x2+y2=(a2+b2)2a4b2+(b4-a2b2)(x21+x22)2a4b2+(b4-a2b2)(x21+x22)=a2+b2.同样对于双曲线有如下类似的性质：性质2过双曲线外一点P作双曲线C:x2a2+y2b2=l（a〉b〉O）的两条切线PA、PB，且ZAPB=90°,则P点的轨迹方程为x2+y2=a2-b2.对于抛物线也有如下类似的性质：性质3过抛物线外一点P作抛物线y2=2px（p>0）的两条切线PA、PB，且ZAPB=90°，则P点

4、的轨迹方程为x=-p2.二、逆向推理、探宄对性质1的条件和结论进行互换作变式探究，笔者用几何画板进行演示，得到圆锥曲线还有如下性质（限于篇幅证明留给读者）.性质4设P为圆x2+y2=a2+b2上的任意一点，过P作椭圆C:x2a2+y2b2=l(a〉b〉O)的两条切线PA、PB，M!)ZAPB=90°.类比到双曲线也有类似的性质:性质5设P为圆x2+y2=a2-b2上的任意一点，过P作双曲线C:x2a2-y2b2=l(a〉b>0)的两条切线PA、PB，则ZAPB=90°.对于抛物线也有如下的性质：性质6设P为直线x=-p2上的任意一点，过P作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线PA、

5、PB，且ZAPB=90°.、问题的拓展探究我们把上面的椭圆两切线夹角变成一般的夹角为0,探宄P点的轨迹方程.经过探宄得出，P点轨迹方程为：(a2+b2-x2-y2)2sin20+4Ca2b2-b2x2-a2y2)cos20=0.显然，当Q=90°时，上式为x2+y2=a2+b2，椭圆互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心、a2+b2为半径的类似地可以得到当双曲线两切线夹角为e时，P点的轨迹方程为：(a2-b2-x2-y2)2sin20+4Ca2b2-b2x2+a2y2)cos20=0.显然，0=90°时，上式为x2+y2=a2-b2.当a2-b2>0时，双曲线互相垂直的切线交点的

6、轨迹是以双曲线中心为圆心、半径为a2+b2的当a2-b2=0时，双曲线互相垂直的切线交点的轨迹是双曲线的中心；当a2-b2b>0）的离心率为53,且过点M（2,253），FI,F2为椭圆的左右焦点.（1）求椭圆的方程;（2）若圆x2+y2=13上一点P（2，3），过P作椭C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求

7、AB

8、的值.分析对于（2）由性质4可得AB为圆的直径.例3（2012年广州市查漏补缺试题）给定椭圆C:x2a2+y2b2=l（a〉b〉0）,称圆心在原点、半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F（2，0），其短轴上的一个端点到F的距离为3.（1）求椭

9、C及其“准圆”方程；（2）设点P是椭圆C的“准上的一个动点，过P任作两条直线II，12,使的II，12与椭圆C都只有一个公共点，试判断II，12是否垂直？并说明理由.分析对于（2）由性质4可得.五、一点感想在数学教学之外，我们要善于研宄、挖掘高考试题的潜在功能.每年的高考试题中都有一些典型的、有挖掘意义的好题.它们或者是重要的结论，或者是体现某种数学思想方法，或者是某个一般数学命题的具体形式，它的延伸、转化、拓展推广，可以呈现出丰富多彩的数学内容.我们必须