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1、一道高考题的推广探究［摘要］主要叙述了在研读历年的高考题时，发现了一道以椭圆为背景，结合向量与同心圆知识的试题•该试题构思精巧，综合性强，值得探究•将对其进行探究并推广到其他圆锥曲线.［关键词］圆锥曲线同心圆垂直推广研究［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］16746058(2015)110043一、真题再现题目：椭圆E：x2a2+y2b2=l(a>b>0)过M(2,2),N(6,1)两点，0为坐标原点.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
2、E恒有两个交点A、B,且OAXOB?若存在，写出该的方程;解：(1)由题意易得椭圆E的方程x28+y24=l.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且OA丄OB,设该圆的切线方程为y=kx+m,解方程组y=kx+mx28+y24=l,得x2+2(kx+m)2=8,即(l+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则A=16k2m2-4(l+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0①由韦达定理得xl+x2=-4kml+2k2xl
3、x2=2m2-81+2k2,yly2=(kxl+m)(kx2+m)=k2xlx2+km(xl+x2)+m2=k2(2m2-8)l+2k2-4k2m21+2k2+m2=m2-8k21+2k2.要使OA丄OB,需使xlx2+yly2=0,即2m2-81+2k2+m2-8k21+2k2=0,所以3m2-8k2-8=0,所以k2=3m2-88^0.又因为在①式中，8k2-m2+4>0,所以m2>23m2^8,所以m2^83,即m^263或m<-263.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的
4、半径为r=
5、m
6、l+k2,r2=m21+k2=m21+3m2-88=83,=263，所求的圆为x2+y2=83.此时圆的切线y=kx+m满足m^263或mW-263,而当切线的斜率不存在时，切线为x=±263,与椭圆x28+y24=l的两个交点为(263,±263)或(-263,±263)满足0A丄0B.综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=83,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且0A丄0B.二、问题与讨论对此，我们不禁提出这样一个问题：对于椭圆E：x2a2+y2b2=l是否存在这样
7、的圆，使之任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且0A丄0B,若存在，又是否与a,b相关？解：假设存在这样的椭圆E.令x2a2+y2b2=ly=kx+m,得b2x2+a2(k2x2+2kxm+m2)=a2b2,即(b2+a2k2)x2+2a2kxm+a2m2-a2b2=0,由韦达定理得xl+x2=-2a2kmb2+a2k2Xlx2=a2m2-a2b2b2+a2k2,由y=kx+m得yly2=(kxl+m)(kx2+m)=k2xlx2+km(xl+x2)+m2=(a2m2-a2b2)k2b2+a2k
8、2-2a2k2m2b2+a2k2+m2,即yly2二b2m2・a2b2k2b2+a2k2.要使OA丄OB,贝I」Xlx2+yly2=a2m2-a2b2b2+a2k2+b2m2-a2b2k2b2+a2k2=(a2+b2)m2-a2b2-a2b2k2b2+a2k2=0,即(a2+b2)m2-a2b2-a2b2k2=0,得k2二(a2+b2)m2a2b2-l.因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为配方法一般是找出条件和题目的要求后，结合定义域的具体取值范围来求解函数最值•但并不是每
9、一个题型都能使用配方法，还要具体题目具体分析.二、换元法换元法是引入新的变量，取代原式中的变量或者代数式，以便将被求函数化简为易于求解的形式•换元法是求解函数最值问题常用的重要的方法•做这类题目的基本要求是学会化简•在学会化简的基础上，再根据定义域的具体取值范围来求解函数最值.【例2]已知x2+y2=l,求z=2x2+2xy+y2的最值.解：由x2+y2=l,可设x=cosa,y=sina,aW[0,2],则z=2cos2a+2cosasina+sin2a=32+12cos2a+sin2a=32+5
10、2sin(2a+B)(B=arcsin55)当sin(2a+B)=1时，z有最大值为32+52；当sin(2a+B)时，z有最小值为32-52.分析：学生用三角换元方法求最值时，需要注意结合三角函数公式的运用，如例题中的辅助角公式.学生还要注重在三角函数中“1”的活用，如sin2a+cos2a=1,tana?cota=1等，如果最值中含有等于“1”的等式，可以考虑用三角函数将其代换，利用三角函数的方法进行求解•同时，学生用换元法求解代数式的最值时，有时需要结合其他方面
