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1、由一道高考题所引发的探究内容摘要：09年的高考早已落下帷幕，全国各地的高考试卷精彩纷呈，尤以江苏卷第18题，一道具有开放性探究式的解析儿何题让人眼前一亮，也激发了我浓厚的兴趣，下面即为笔者对该题的研究过程与论证结果，希望能引起共鸣.关键词：数学高考题探究【中图分类号］G633.6【文献标识码］A【文章编号】1674-4772(2013)04-003-02试题如下：在平面直角坐标系中，已知圆和圆・(1)若直线1过点，且被圆截得的弦长为，求直线1的方程；学(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线11和12,它们分别
2、与圆C1和圆C2相交，且直线11被圆C1截得的弦长与直线12被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.学问题1：是否所有的半径相同的两个圆都存在这样的点P,使过点P冇无穷多对互相垂的直线11和12,且与两圆所截得的弦长相等，如果存在，乂存在多少个这样的点？这些点与对应的圆乂有怎样的位置关系呢？分析若在平面直角坐标系中，已知圆圆假设存在这样的点P(a,b),可设直线11的方程为y二k(x-a)+b,(k),则12方程为y二(x~a)+b,由题意知经整理，得，从而可得关于k的方程或有无数组解，所以或解得或当一且仅当m二p,n二q
3、这两组解相同.下面研究其与两圆的位置关系：笔者先从高考题入手，利用几何画板作图，不难发现，点A,B在圆心Cl,C2连线的垂直平分线上•容易证明其一般性：即点与点也在圆心与连线的垂直平分线上.问题2：若将问题1中的相互垂直的直线11与12推广为所成角为时,其中，是否依旧存在这样的点P?若存在，这样的点P又有多少个？是否一定在两圆心的垂直平分线上？带着这个问题，我们首先找到无数对互相垂直的直线存在的形态.还是从高考题这个特例入手，过点P作圆C1的相交直线PE,再过点P作直线PE的垂线交圆C2于G,II•由上可知：EF二GII；保持两直线
4、垂直不变，如图2,将直线PE绕点P旋转角,直线PG也随PE绕点P旋转角，由问题2可得整个旋转过程所截得的对应弦长相等•从图屮2可以得到，圆C1及直线11绕点P旋转90o后两圆及对应直线重合，从而我们可以得无数对这样相互垂直的直线，其中当这两条直线分别与两圆相切时为零界状态.当两直线的所成角为时，英中，这样的点P还存在吗？如果存在,乂会有儿个？1・先证明存在性如图3,对任意的两个半径相同的圆，在两圆心的垂直平分线上任取一点P,分别作两圆切线PE,PF（如图所示），设两直线所成角为,当PE,PF绕点P逆时针旋转角时，则两圆及相应的直线逆
5、时针旋转后重合,这里把它称为钟摆效应•同时，点P关于C1C2的对称点P0也满足.由于点P的任意性可知，切线PE,PF所成角为范围为（）•2.若点P不在线段C1C2屮垂线上时，则不存在满足条件的点P.如图4,假设存在这样的点P（不妨设其位于垂直平分线左侧），且直线PE,PF所成角为时，分别被两圆所截得弦长相等，保持夹角不变，若绕点P旋转角后得到直线对为PM,PN,•且此时所截得的对应弦长也相等.这里设，，易得.分别过作Cl,C2作，・则，有在中，，，所以整理得，乂，可得二0,又,所以，故与条件矛盾.当两直线对分别位于圆心两侧时，同理可
6、证.所以不存在这样的点p.如上所述，我们得到这样的结论：对任意半径相同的两圆，总存在两个点，使过该点可以作出无数对所成角为某一定值的直线对，且其分别被两圆所截得的弦长对应相等，这样的点都在两圆圆心的垂直平分线上；同时垂直平分线上任意一点都能作出无数对所成角为某一定值的直线，并与两圆所截得的弦长相等.
