由一道高考题引发的思考

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1、由一道高考题引发的思考圆锥曲线以其图形优美、方程简洁、性质众多而备受人们喜爱，三类曲线既有共性又有特性，本文通过一道高考题探究这几类曲线的一些相关性质。问题：已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点，且，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M,(1)证：为定值；(2)设的面积为S,写出的表达式，并求S的最小值标答如下：(I)由已知条件，得，设，由得将(1)式两边平方，并把代入得：(3)解(2)、(3)式得,且冇所以抛物线方程为：，求导得：过A,B两点的切线方程分别是：解出两切线交点为：(II

2、)由(I)知：在中，又分别等于A,B到准线的距离于是：且当时S取得最小值4同历年来解几大题相仿，标准答案过于繁长，运算量大，极易出错。在此我给出一种相对简单的解法。解：A、B为抛物线上的两动点，且，AB为抛物线一焦点弦，过A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C、D如图：则,,设过点A的切线交直线CD于P,联想到抛物线的光学性质：由抛物线的焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴，则而空(SAS)而BF二BD,BP二BPS，则即BP为抛物线的过点B的切线，故P与M重合此时，FM丄AB,(I)由

3、FM丄AB,二0(II)由于抛物线的焦点弦中通径最短，即此时恰也取得最小值2,考虑到原题第2问要求写出表达式，现补充的一种求法,由不妨设＞0,则同标答第1问的前半部分，得，代入上式，下同标答第二种解法利用了双曲线的定义和光学性质，绕过了求切线方程和联立方程求交点，大大减少了运算量。但多数考生对课本第124页的阅读材料《圆锥曲线的光学性质及其应用》不够熟悉或不够重视，加上考场上时间紧，很难想到第二种解法。如果对本题的思考到此结束，可太可惜了。仔细品味这道题中蕴涵的几何意义,还可发现以下命题：(1)若AB为

4、抛物线任一焦点弦，则抛物线的过A、B点的两条切线的交点轨迹为抛物线的准线(2)由，易知(3)由(4)由，易知(5)若DF交BM于E,CF交AM于G,则四边形FEGM为矩形(6)若AB为抛物线任一焦点弦，过F作交准线于则MA,MB与抛物线相切(7)由圆锥曲线间的互变规律，将抛物线改换为椭圆，是否还有相似的结论呢？很自然引出以下的探索：若为椭圆的左右焦点，AB是过右焦点的椭圆的一条弦，过A、B两点分别做椭圆的切线设两切线交于M,是否还有？①如图：由椭圆的光学性质，光线反射后过，作关于直线AM的对称点P,则,

5、同理，作关于直线BM的对称点Q,则，故为线段PQ中点，猜想成立。①由椭圆的光学性质，射线AM,BM分别是的两条外角平分线，所以点M为的一个旁心，且点M在的角平分线上②可以证明，M点轨迹为椭圆的右准线。③由于椭圆的焦点弦中通径最短，此时M与准线垂直，即同时取得最小值。故当AB为椭圆通径时，最小。④由以上几个命题，还可以得出以下命题：AB是椭圆的一条焦点弦(?。T?的内角平分线交准线于M,则AM、MB与椭圆相切。(??)过作AB的垂线,交准线M,则MA,MB与椭圆相切，(?#L?作AB的垂线，交于M,则点M

6、的轨迹为椭圆的与对应的准线。若将抛物线改换成双曲线呢？(1)如图，，为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线交于A、B两点，分别过A,B作双曲线的切线，两线交于M点，则简证：由双曲线的光学性质：由双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一焦点，故AM平分，BM平分，则点M为的一外心，且关于直线AM的对称点C在直线AB上，关于直线BM的对称点D也在直线AB上同理：所以为线段CD中点，由，猜想成立(说明：A、B两点同在右支上亦成立，证法类似)（2）可以证得：点M的轨迹是双曲线的右准线

7、。（与椭圆、双曲线的性质类似）同对椭圆和抛物线的处理方式类似，还可以得到一些与椭圆抛物线类似的结论，这里就不再赘述了。