一道高考题引发的思考

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1、一道高考题引发的思考　　　　　　　　　　　　(湖南省宁乡九中湖南长沙410600)　　　　2012年高考湖南卷理综第21题是一道信息给予题，他给了一个十分重要的信息：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.对这个信息的理解直接关系到本题的求解.这个结论十分重要，它经常出现在各高校的自主招生物理考试中，更是高中物理奥赛的常见知识点之一，这个知识点的应用，笔者在教学中发现了两个有趣的“相同”.　　例1(2012年高考湖南理综卷第21题)设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度是d,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底

2、部和地面处的重力加速度大小之比是　　A.1-dRB.1+dRC.(R-dR)2D.(RR-d)2　　在做例1前我们先来证明一个结论.　　例2试证明质量均匀，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳的万有引力为零.7　　证明设球壳单位面积质量为ρ，壳内P点处有一质点m，如图1(a)所示，球壳上取一小面元ΔS1，距P为r1，过此面元边界与P连接并延长在球壳上又取下对应面元ΔS2，距P为r2，可得ΔS1与ΔS2对质点m的总万有引力Fi为　　Fi=F1-F2,　　Fi=GmρΔS1r21-GmρΔS2r22=Gρm(ΔS1r21-ΔS2r22),　　从图中

3、可得ΔS1′r21=ΔS2′r22,　　因为ΔS1与ΔS2很小，所以　　ΔS1=ΔS1′cosθ,　　ΔS2=ΔS2′cosθ,　　即ΔS1r21=ΔS2r22),　　这样可得Fi=0,　　F=∑∞i=1Fi=0.　　下面我们就可以对例1进行分析.　　分析与解如图2示，设地球匀质，密度是ρ，以地心为球心，地球半径是R，当物体位于距地心为R-d的位置P时，由于半径为R-d的球以外的部分对物体的引力为零，所以物体受到的引力等于以半径为R-d的球体对物体的引力.　　FP=GMPm(R-d)2=G43π(R-d)3ρm(R-d)2　　=43πρGm

4、(R-d),　　则该处重力加速度为　　g′=FPm=43πρG(R-d),7　　而物体在地球表面时　　F=GMmR2=G43πρR3mR2=43πρGRm.　　地表的重力加速度是　　g=43πρGR,　　则有g′g=R-dR=1-dR.　　例3假设沿地球直径开凿一隧道，隧道内光滑且真空，把地球看做一密度均匀的球体，并设地球半径是R，地表重力加速度是g，不考虑地球自转，(1)证明：一小球从地表落入此隧道后做简谐运动;(2)求此简谐运动的周期.　　分析与解上面我们已经证明：质量均匀厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零则在距地球球心χ(χ

5、

6、意：此处若用I=F?Δt计算得　　I=5×0.05=0.25N?s,　　就错了，因为=5N是对位移Δx求出的平均力，而不是对时间Δt求出的平均力.F=-GMmR3χ=-mgRχ,　　可见小球在隧道中受到大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，所使小球在隧道中做简谐运动，回复力常数K=mgR,振幅A=R,圆频率ω=g/R.　　由于小球的运动方式为简谐运动，则其周期是　　T=2πm/k=2πR/g.　　例4在地球表面的圆轨道上的人造卫星绕地球运动(近地卫星),已知，地球半径是R，地表的重力加速是g,求卫星的运动周期.　　分析与解近地卫星由万有引

7、力提供向心力，并且环绕半径近似等于地球半径R,　　G=MmR2=mR(2πT)2,　　和黄金代换GM=gR2,　　两式可得T=2πR/g.　　我们对比一下例3和例4的计算结果，它们的运动周期都是T=2πR/g(R地球半径,g地表重力加速度)　　问题一上面的结果是碰巧相等？还是有什么内在的联系呢?7　　这个有趣的巧合并非偶然，近地卫星的匀速圆周运动与小球沿过地球直径的隧道的简谐运动有相关性.　　请看一看下面的例5就会豁然而解.　　例5质点以角速度ω沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动.试证明：质点在某直径上的运动为简谐运动.　　分析与解如图3示将

8、质量为m的质点P的运动正交分解为沿水平(x轴)直径与竖直(y轴)直径的两个分运动，质点在水平直径上的投影P′的运动即P的x方向分运动.显然，P沿圆周运动一个周期，P′沿x轴向直径