一道平凡而不平淡的高考题引发的思考

《一道平凡而不平淡的高考题引发的思考》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一道平凡而不平淡的高考题引发的思考　　2012年6月7日晚上，老师们在办公室里讨论今年的高考数学卷，普遍认为浙江卷比较平常，直到一个老师提到他那参加高考的女儿说有几道题虽然看起来很平常，实际上却不好做，比如理科卷的17题.细细品味发现此题初看很平淡，实质却内蕴丰富：知识纵横交错，数学思想运用灵活，只有达到对数学的本质理解才能做好.　　一、试题再现　　（2012浙江数学理科卷第17题）设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，则a=？摇？摇.　　二、试题解答　　图一　　思路一：令函数y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）　

2、　①当a=1时，y=-（x-ax-1），显然不合题意；　　②当a≠1时，易知a>1，　　由于[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0的根有一个必为（>0），　　又x-ax-1=0的△=a+4>0，　　所以[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0至少有两个根，　　结合y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）的图像（图一），　　∴必为x-ax-1=0（△=a+4>0）的根　　∴a=.5　　思路二：原不等式等价于（a-1）x-1≤0x-ax-1≤0（A）或（a-1）x-1≥0x-ax-1≥0（B），　　图二　　令函数y=（a-1）x-1，y=x-ax-

3、1都过定点P（0，-1）.　　考查函数y=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），　　∵x趋向无穷大时y2必为正，要使yy≥0，　　则x趋向无穷大时y1也为正，　　∴a>1，　　由（图二）可得函数y=x-ax-1必过点M（，0），　　代入得：（）--1=0，解得：a=，或a=0（舍去），　　∴a=.　　思路三：把a当做主元　　[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即为[xa-x-1]（xa-x+1）≤0，　　又方程[xa-x-1]（xa-x+1）=0的两根为a=或a=，　　∴[xa-x-1]（xa-x+1）≤0关于a的解必在、两根之间.　　

4、因为本题为填空题且是求a的值，　　所以a===.　　思路四：[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即为[ax-x-1]（ax-x+1）≤0　　图三　　令y=ax，y=x+1，y=x-1　　∵x>0时均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，　　∴x>0时y=ax的图像在y=x+1与y=x-1的图像之间.5　　由图三易知y=ax的图像过y=x+1与y=x-1的交点，　　∴a=.　　思路五：特值法：因为x>0恒有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，　　那么对特定的x（x>0）的值上述不等式必成立，　　取x=2，得（2a-3）≤0，　　∴

5、a=.　　三、教学反思　　高考结束后，笔者对该题的解法做了相关调查，发现60%的同学想到用第一种思路即结合三次函数的图像解题，但大部分同学只结合函数而没有考虑对应的方程，加上考试时的时间因素和心理因素（看其是最后一道填空题）放弃了解答.而接下来几种解法为什么没有那么多学生做呢？笔者对高三数学教学进行了反省，发现还有不少地方值得改进.　　1.过分强调“模式识别”，制约了学生思维的拓展.　　“模式识别”对基础题的作用是显而易见的，所以大多数老师在高三解题教学中，往往强调“模式识别”.此题学生受挫，绝大多数就是吃亏在“模式识别”：不等式的恒成立问题转化

6、为最值问题求解，可此题的最值实在不好求，导致学生无法求解，又由于惯性思维而想不到其他解法.　　2.忽视对知识发生发展过程的复习，制约了学生的数学理解.5　　思路一，学生知道应该利用函数和方程思想及数形结合思想，但为什么没有想到要考虑对应的方程呢？又为什么没有想到第二种解法呢？问题就在于高三数学教学实在太具有功利性了.回想高一教一元二次不等式的解法时，注重让学生体验结合一元二次函数和方程解一元二次不等式的过程，最后归纳解一元二次不等式的步骤.可高三时我们把不等式的解法放在一节课上，知识点的讲解着重放在让学生回顾各种不等式的解题步骤，比如一元二次不等

7、式的解法：①二次项系数化为正；②能因式分解则因式分解，不能因式分解则计算△；③结合图像写出解集.而此解题步骤没有让学生充分体会到方程对解不等式的重要性.由于高三复习的高度总结性让学生忽视了最原始的利用降维方法（蕴含化归与转化思想）把二次不等式化为两个一元一次不等式组的解题方法，导致该题的解答过程中许多同学想不到用思路二进行解答.　　3.知识复习与数学思想复习的割裂，制约了学生对思想方法的灵活应用.　　纵看高三数学复习的安排，绝大多数分成三阶段：一轮复习（知识为主），二轮复习（思想方法为主），三轮复习（解题与应试技巧为主）.而一轮复习往往要持续到当

8、年高考3、4月份，思想方法和填空选择的解题技巧的复习往往只用了几节课，留给学生对思想方法与解题技巧的体会内化时间着实不多，况且由于教师的