由一道课习题引发的探究.doc

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1、由一道课本习题引发的探究吴健（江苏省锡山高级中学214174）数学课堂如何实施有效教学，是我们每位数学教师都要思考的问题．笔者认为进行有效教学的要素之一就是要充分合理地使用好教材．教材是教学的核心内容，这不仅体现在概念、定理的教学上，也应体现在例、习题的教学上，这是由于课本中的每一道题都是经过编写者千挑万选的，能够入他们“法眼”的一般都具有极强的代表性，许多问题还具有深刻的数学背景．因此作为教学者，我们对课本中的例、习题不能就题论题，如蜻蜓点水般的应付了事，而应该引导学生不失时机地思考和探究，去开发习题后面的数学宝藏，提升学生的思维水平和创新能力，笔者所任教的班级是

2、重点中学的高中实验班，每节课学生学习的期望值都很高，这就促使笔者去挖深、挖透教材，以便以点带面，层层推进，高效率地完成课堂教学．下面是本人习题教学的一个案例，供大家参考．1问题（苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2—1数学P49习题2.4第8题）已知直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，求证：．解析由即，设，，则，，所以，所以，结论成立．2改变问题的条件变题1已知直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，求证：．此题的解答同上，可由学生自已完成．说明教师可将问题一般化：如果直线（）与抛物线相交于、两点，为坐标原点，则．变题2已知直线（）与抛物线相交于、两点，为坐标原点

3、，问是否为定值？解析由，即，设，，则，，所以．即为定值．说明直线过定点时，为定值．变题3已知直线（）与抛物线交于、两点，关于轴对称点为，为抛物线焦点，试证明：、、三点共线．ABFOyx解析由，即，设，，，则①要证、、共线，只要证，由于，所以，，只要证，即证，即证，即证，由①获证．点评本题也可以改为证明直线过定点，此定点即为焦点，注意到点是抛物线准线与对称轴的交点，本题揭示了抛物线的一个十分优美的性质．3研究问题的逆命题变题4抛物线上两点、，满足（为坐标原点），证明：直线恒过一定点．恒边定点，证明略．变题5抛物线上两点、，满足（为坐标原点），于，求点的轨迹方程．由上题

4、结论可知在以为直径的圆上，点的轨迹方程为．变题6抛物线上两点、满足，其中为原点，、分别在轴两侧，问直线是否恒过一定点．解析设，，由题，所以，即，所以，由题，所以．直线：，即，即，即，也即，因此直线恒过定点（3，0）．4对问题作类比探究变题7在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．（1）求轨迹的方程；（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点．解析（1）∵点到，的距离之和是4，∴M的轨迹是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为．（2）将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和

5、，所以．①设，则，．　　②且．③显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，，由，得．将②、③代入上式，整理得，所以，即或．经检验，都符合条件①．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．点评変题7是変题4在椭圆中的类比，反之若直线为与椭圆交于不同的两点和，则．変题8已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点（1,0）的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．解析（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以

6、，．故椭圆的方程为．（Ⅱ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上．由得．易知．所以，，．则．因为，所以．所以．当过点直线的斜率不存在时，其方程为．解得，．此时．所以的取值范围是．变题9在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，为其右准线，为上一点，、分别与椭圆交于点，，证明：直线恒过轴上一定点.解析由已知，，：，则，：，：由，由于，又因为，所以，而由，所以，又因为，所以，所以，若，则，所以，此时，过定点.若，则可证，所以、、三点共线，即过右焦点.说明本题可以看作变题3在椭圆中的类比，其要求较高，此题反映了椭圆的一个优美性质，当为椭圆右准线上动点时，

7、恰过椭圆右焦点.变题10在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，，，求证：直线必过轴上的一定点.此题的解法同上题，可以证明过定点.我们是否可作这样的猜想：若（其中为定值，），直线过定点，时，过定点（2，0）.变题8是江苏省2010年高考第18题（3），其解法也可以考虑用向量知识，设定点，可得，此种解法可以避免讨论斜率是否存在，由恒成立思想解得.5.一点体会教育的本质不仅是使受教育者学习认识社会和改造社会的知识和能力,还要使受教育者的人格不断完善.类比、联想在日常教学中应用十分广泛,我们大多数情况只关心其教学功能,而