由一道课本习题引发的探究.doc

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1、由一道课本习题引发的探究吴健（江苏省锡山高级中学214174）数学课堂如何实施有效教学，是我们每位数学教师都要思考的问题.笔者认为进行有效教学的要素之一就是要充分合理地使用好教材.教材是教学的核心内容，这不仅体现在概念、定理的教学上，也应体现在例、习题的教学上，这是由于课本中的每一道题都是经过编写者千挑万选的，能够入他们"法眼”的一般都具有极强的代表性,许多问题还具有深刻的数学背景.因此作为教学者，我们对课本中的例、习题不能就题论题，如蜻蜓点水般的应付了事，而应该引导学生不失时机地思考和探究，去开发习题后面的数学宝

2、藏，提升学生的思维水平和创新能力，笔者所任教的班级是重点中学的高中实验班，每节课学生学习的期望值都很高，这就促使笔者去挖深、挖透教材，以便以点带面，层层推进，高效率地完成课堂教学.下面是本人习题教学的一个案例，供大家参考.1问题（苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1数学P49习题2・4第8题）已知直线yf-2与抛物线/=2兀相交于人、B两点，0为坐标原点，求证：0A丄0B.解析由一2=>(—2)2=2兀即兀2_6x+4=0,［y=2兀设A(x}9B(x2,y2),则+x2=6,xxx2=4,所以鬲•亦=(兀］

3、,丁］).(兀2，)‘2)=兀］兀2+『1歹2二兀1兀2+U1_2)(兀2_2)——2(兀］+兀2)+4=2x4—2x6+4=()，所以刃丄亦，结论成立.2改变问题的条件变题1已知直线,y=2(x-2)与抛物线)，2尢相交于A、B两点，O为坐标原点，求证：刃丄亦.此题的解答同上，可由学生自已完成.说明教师可将问题一般化：如果直线y=k(x-2p)("0)与抛物线,y2=2px相交于A、B两点，O为坐标原点，则页丄亦.变题2已知直线y=k(x-)("0)与抛物线/=2x相交于A、B两点，O为坐标原点，问刃•亦是否为

4、定值?解析由打丫2丁"2)“，即"4+2)Z0,2设心B(x2.y2),则+x2=2+—,x{x2=1,K所以鬲•亦=(兀1，兀2)•01*2)=XX2+y』2=X1X2=kg-1)-k(x2-1)(1+£2)“兀2—戸(兀]+兀2)+1=1+T一(2k?+2)+1即页刀为定值.说明直线/过定点时，OAOB为定值.变题3已知直线)，=心+_)(£工0)与抛物线y2=2x交于A、B两点，A关于x轴对称点为A,F为抛物线焦点，试证明：AF、B三点共线・解析),=灯兀+£)亠疋(兀+_[)2=21y2=2x2即k2x

5、2+(k2-2)x+-k2=0,4设B(x2,y2),A^-yJ,2.%!+=—--1叫「件①“2=7要证才、F、B共线，只要证k.F=krB,由于F(+，0),J所以S'只要证二21旺i)‘2兀2-k(x}+—)k(x2+—)jii艮卩证-p-，即证(兀］+—)(-^2~―)+(xi)(x2+空)=0，X

6、_2“-勺即证2^2-g=0,由①获证.点评本题也可以改为证明直线AB过定点，此定点即为焦点,注意到点(-

7、,0)是抛物线准线与对称轴的交点，本题揭示了抛物线的一个十分优美的性质.3研究问题的逆命题变题4抛物线

8、y2=2x±两点A、B,满足04丄OB(0为坐标原点)，证明：直线朋恒过一定点.恒边定点M(2,0)，证明略.变题5=2兀上两点人、B,满足04丄0B(0为坐标原点)，0H丄AB于H,求点片的轨迹方程.由上题结论可知H在以0M为直径的圆上，点H的轨迹方程为变题6抛物线y2=2x±两点A、B满足0A0B=3,其中0为原点，A、3分别在兀轴两侧，问直线AB是否恒过一定点.解析设人（£小由题0405=3,2222所以也+他一3=0,艮卩/纭？+4仏_12=0，4所以（仏+6）（加-2）=（）,由题他＜0,所以tu=-6・

9、直线AB：y-f=―（兀一2）,艮卩y—r=-^—（乳一］）,vir2t+u2T_T即（r+w）y-r2-tu=2x-129艮卩（f+u）y=2x+tu9也即a+u）y=2兀一6,因此直线恒过定点（3,0）.4对问题作类比探究变题7在直角坐标系龙Oy中，点M到Fi(-巧,())、F2(73,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线几y=kx^b与轨迹C交于不同的两点P和°・(1)求轨迹C的方程;(2)当乔•元=0时，求k与方的关系，并证明直线/过定点.解析(1)•••点M到(-73,0

10、),(73,0)的距离之和是4,•••M的轨迹C是长轴长为4,焦点在x轴上焦距为2“的椭圆,2与曲线C交于不同的两点P和Q,所以A=64k芳—4(1+4/)(4庆-4)=16(4疋—戻+1)〉0・设s,yj,Qg，%)，则Xj+x2Skh1+4/4/?2-41+4疋•且•y2={kxx+b)(kx2+b)=k2x}x2+kb(x}+x2)+Z?2•显然，曲线