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1、一道高考题的探究【中图分类号IG633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2013)11-0161-02每年的高考题都是命题人呕心沥血的精心之作，对来年的高考具有一定的指导与示范作用。对高考题的解题方法以及推广出的一般结论的研究，可以让学生了解考题的侧重点以及命题思路，以便学生在来年的高考中取得更加优异的成绩。下面笔者结合刚刚结朿的2013年江苏高考19题进行探究，望同行批评指止。一、试题呈现：设｛an｝是首项为a,公差为d的等差数列(dHO),Sn是其前n项和,记bn=H,nWN*,其中c为实数
2、。(1)若c=0,且bl,b2,b4成等比数列，证明：Snk=n2Sko(2)若［bn］是等差数列，证明：c二0。二、探究过程：1.解法探究木题主要考察等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考察分析转化能力及推理论证能力。下面对其解法作简要探究：(1)an二a+(n-1)d(dHO),Sn二na+・dc二0时,bn=HAbl,b2,b4成等比,Ablb4=b22Ad=2a,ASn=n2a,Snk=n2k2a,n2Sk二n2k2a/.Snk=n2Sk（2）解法一（基本量法）由已知bn二■二■Vbn是等差数列・
3、••设bn=kn+b（k,b为常数）・••有（2k-d）n3+（2b+d-2a）n2+2ckn+2bc二0对任意nWN+恒成立・・・2k-d二02b+d-2沪02ck=02bc=0Vd^O,Ak^OAc^O此时k二・b二■命题得证。评析：这种解法主要运用等差数列的通项公式为一次函数的性质，直接设一次通项公式，代入化简得到关于n的恒等式，再用待定系数法求解参数c,学生比较难想到。解法二（特殊值法）因为｛bn｝是等差数列，所以bl,b2,b3成等差数列，从而2b2=bl+b3,代入bn二■二■,得2■二■+■,整理得
4、■a+Bd=（■+■）a+・d,所以■二■+■■=■,解得c二0。评析：这种解法学生较容易想到，运用等差数列前三项bl,b2,b3等差中项的性质化简得到关于a,d的等式，求解参数c。2•纵向探究解决了一道高考题，我们就会思索：笫（2）题的逆命题是否成立呢？探究1：设｛an｝是首项为a,公差为d的等差数列（dHO）,Sn是其前n项和，记bn*,nUN*,c二0,｛bn｝是否为等差数列呢?证：直接运用等差数列的定义证明后项与前项的差为常数即可。因为brF■二a+・d,所以bn+l-bn=Bd-Bd=Bo且・H0为常数
5、。命题得证。此时我们惊奇地发现c二0是｛bn｝是等差数列的充要条件。静下心来想想，我们平时的练习中有类似的题目吗？旧题回顾：an=4n-3,Sn是其前n项和，若｛bn｝是等差数列，且bn二■,求常数c。此题bn二■中与原考题中的bn二■从形式上很相似，分式的分母是一次和二次的情形，c的值是否也与原题相同呢？解：al二1,Sn=n(2n~l)则bn二■成等差数列。因为｛bn｝是等差数列,所以bl,b2,b3成等差数列,从而2b2二bl+b3,因为bl=・，b2=B,b3=・，所以■二■+■,从而c二-■或0,经检验
6、c二-■或0时，｛bn｝是等差数列。变式：等差数列an=2n-l,是其前n项和，若｛bn｝是等差数列，且bn二■,则常数c为多少呢？同上面解法，解得c二0,经检验c二0时，｛bn｝是等差数列。通过上述两例我们发现：对于两个不同的等差数列｛an｝,满足题意的c都冇相同的解c二0。那么笔者猜想是否对所有的等差数列，即当等差数列的首项a与公差d都在变动时，满足题意的c是否一定为0呢？我们作如下探究：探究2：设｛an｝是首项为a,公差为d的等差数列(dHO),Sn是其前n项和，bn=・，不论a与d取何值，则c二0是｛bn
7、｝是等差数列的充要条件吗？证：充分性同探究1的证明，必要性证明:因为｛bn｝是等差数列，所以bl,b2,b3成等差数列,从而2b2=bl+b3,因为Sn=na+Hd,所以bn=Ho进而bl=B,b2=B,b3=B,代入2b2=bl+b3得・二■+■整理得：Ha+Hd=(■+■)a+・d所以■二■+■■=■,解得c二0。至此，我们已经得到当bn与Sn的分式关系中分母为关于n的一次情形时，c二0是｛bn｝是等差数列的充要条件。笔者继续思索，试题背后是否隐藏着一般性的规律？它所体现的性质或结论能否有特殊推广到一般情形？
8、探究3：设｛an｝是首项为a,公差为d的等差数列(dHO),Sn是其前n项和，bn=H,nGN*,keN,不论a与d取何值，c二0是｛bn｝是等差数列的充耍条件吗？证：k二1时已证。易见，充分性同探究1的证明。下证必要性：类似原试题第(2)小题的证法，因为｛bn｝是等差数列,所以bl,b2,b3成等差数列，从而2b2=bl+b3,将bn二■代入上式，2■二■+■对任意的a
