对一道数学高考题的探究

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1、对一道数学高考题的探究文/肖建华一、原题再现(2009年高考湖北卷数学理科第20题)过抛物线对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N分别向直线作垂线，垂足分别为、.(Ⅰ)当时，求证：.二、证题分析当时，点A即为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线.设、，则、.要证明，只需证明，即证明，故只需证明，或者证明.三、题根追溯1.(人教版第二册上第119页习题7)过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为、，求证：.2.(新课标选修2-1第70页例5)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：直线D

2、B平行于抛物线的对称轴.该题虽然没有要求证明，但是要证明直线DB平行于抛物线的对称轴，也就是证明D、B两点的纵坐标相同.因为D、O、A三点共线，于是可用A点的纵坐标表示D点的纵坐标，从而得出A、B纵坐标的关系.四、一题八证(证法一)设、，则、，于是有，.显然直线ＭＮ的斜率不为０，于是可设直线ＭＮ的方程为.由，得.因为、是方程的两个根，由韦达定理可得，所以有，即.(证法二)设、.因为M、A、N三点共线，所以.所以，整理得.从而有，即.(证法三)由抛物线的定义可得.设、，则、.将代入坐标，得.整理得，于是有.从而有，即.(证法四)设A点内分MN的比为，于是有.消去得.从而有，

3、即.(证法五)由新课标选修2-1第70页例5可知、M的纵坐标相同.由、O、三点共线，得，即.从而有，即.(证法六)设抛物线的参数方程为(为参数)，于是可设，.因为、为两个不同的点，所以.由M、A、N三点共线，可知，于是有.整理得，即.所以.从而有，即.(证法七)以抛物线的焦点为极点，则其极坐标方程为，于是可知、.所以.从而有，即.(证法八)由抛物线的定义可得，，于是有，.因为，所以，即.于是得.所以，即.五、证后反思根据上述题目的证明过程，我们可以得出如下结论：若过抛物线的焦点F的直线与此抛物线相交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为、，则(等价

4、于A、B两点的纵坐标之积为).根据上述结论，我们猜想：椭圆和双曲线是否也具有上述类似的性质呢？现以椭圆为例，说明上述性质是抛物线特有的性质.若过椭圆的焦点F的直线与该椭圆相交于A、B两点，过A、B两点分别向椭圆的焦点F的相应准线引垂线，垂足分别为、.因为直线AB的斜率不能为0，所以可设直线的方程为.由，得.①若设，，则有，.若，则有.整理得.由方程①得，于是有，解得.故不存在这样的直线，使得.若F为椭圆的左焦点，我们同样可以证明直线不存在.另外，双曲线也不具有上述类似的性质.所以，上述性质是抛物线特有的性质.小结本文通过对一道高考题的初步探究，通过“题根追溯”“一题八证”

5、和“证后反思”，我们发现很多高考题都是“源于课本，高于课本”.在高考复习和平时学习过程中，同学们必须重视课本，既要重视习题，又要重视内容.同时，同学们要从多个角度思考问题，要重视数学思想和方法，解题后要善于总结，这样就可以放弃题海、减轻负担，从而取得理想的成绩.