对一道高考题的多角度探究

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1、图（1）图（3）715飞"卩对一道高考题的多角度探究卢玉才江苏省太仓高级中学18915775582luyucai4@hotm"l・com解析儿何是川代数的语言描述儿何要索及具关系，进而将儿何问题转化为代数问题，通过解决代数问题和分析代数结果的儿何含义，最终解决儿何问题，这是解析儿何的核心思想.新课标的教学要求也指出要让“学生感受用解析法研究问题的一般程序，帮助学生不断地体会数形结合思想”.2010年江苏高考试题的第18题就体现了这样的核心思想和新课标X2X2的教学要求•原题如F如图（1），在平面直角坐标系中,已知

2、椭圆方程亍亍1的左右顶点分別为右焦点为F,设过卩（/,加）的直线分别交椭圆于A^(x2,y2),其中/n>0,开>0,y2<0.（1）设动点卩满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹；（2）设X=2,x2=—＞求点T的坐标;（3）设f=9,求证：直线MN必过兀轴上一个定点.下面我们从三个方面对该试题展开讨论.一、试题的探源高考试题的源泉非常丰富，有的來自于高等数学，有的収口教材的例、习题，也有的改编于初高中的一些习题或竞赛题.分析2010年江苏高考数学，许多试题源于课本或平常的习题，通过对它们的变式、迁移、整合、扩展

3、、综合而成.江苏卷2010年第18题也不例外，它由平面儿何一个问题改编而成，其模型为：如图（2）所示，为圆O的直径，M为圆上异于的一点，S为A3延长线上的一点，过S作ST丄AS交AM的延长线于T,连接TB并延长交圆O与N,连接MN交人〃于P,求证：空=竺竺.PBBSTT证明：如图（3）,连接AN,BM,则=—,设2ZBAM=a,乙NAB=p,贝ijBM=ABsina・又TTA、NbM四点共圆，/.ZNMB=8,XZABN=一一2PBMBsinP/兀Qsina+p〔2"丿"冷f又阿―P'而TSBSAScos（q—

4、0）TS=AStana，BS=了=AStanatanB,/.——=，tan

5、

6、PBABcosqcos0<2）BSASASaBSASBSAS+BSHIIABAS+BSPBABABPBABABABPBBS当T在直线ST1.变化时，空竺为定值，则空比为定值，MN与AB的交点为ABPB定点.高考试题屮将平面儿何模型小的圆变式为椭圆，要证明结论仍然成立.试题变式的过程提醒我们在高中数学的教育教学和高三复习中，要重视数学不同分支间知识和方法的合理迁移，探求问题的源头与本质，这样做有利于我们提升认知水平，拓宽解题思路.二、解法

7、的探究本题是江苏卷解答题第川题（共六道解答题），考杳肓线和椭圆的方程及肓线与椭圆的位宜关系。仔细分析该试题我们发现第（1）（2）问，能力要求不高，人多数考生都应该能完成，故第（1）（2）问的解下而从略，但第（3）问对考牛的分析问题能力、代数运算能力冇较高的要求.大部分考生想用点丁的处标表示直线MN的方程，由于运算量大而最终没有完成计算.由于题设屮耍证明直线MN与x轴的交点为定点，因此我们可以先计算特殊情形即垂直于兀轴时MN与兀轴的交点D,而当直线MN与x轴不垂直时，则可以利用斜率和等来证明M,N、D三点共线.9解

8、法1：（1）点P的轨迹为x=-,解略;2（2）点T的坐标为］7，¥｝解略；717IT!（3）由题设得直线AT的方程为y=—（兀+3）,直线的方程为）=_（兀—3）,点叫』）满足迂丁，消去”得十L罄呼.95a6叶240-3加280+/40/7780+加2同理，_3m2-60_20m%2_20+m2，31~~20+m2'若西=兀2，则m=2V10,此时直线MN:x=,过D(l,0)；40/7780+加$二10加240-3m2]~40-/n280+m220m一20+加2二10加,3/?z2-60

9、40-m220+加$

10、一/.kMD=kND,M,N,D三点共线，综上，MN过定点D(l,0).在上而的解法中，我们利用M,N在直线和椭圆上得到M,N的坐标所满足的方程，解出M,N的处标(用加表示)，从特殊情形得到定点D的坐标，再由三点的处标得到斜率相等完成定点的证明.我们换个角度思考，MNS轴交点坐标可以用M,N的坐标的表示,要证明该点为定点，也就是要证明M,N两个点的处标满足一个恒等式，我们能否找到这个恒等式呢?解法2；设轴的交点为D,由人心三点共线有話詁,同理亠tx2-36冷,整理得2韧-6廿=利2+3九①,又寺+*旺+31,X—

11、,))9••宁哈鳥，同理有守纟號一粽2州力一6『2=兀2)1+3”②，①一②得兀2必一州匕=)1一丁2,若兀]=乳2，则开工旳，•'•兀1=吃=1，MN过点£>(1,0)；,v=0得若西工兀2，贝直线—)1二丄匸乙(兀一兀J,令X]—兀2兀1一兀23-斗儿=].综上，MN过定点0(1,0).X一儿在解法2中，我们利用A,MJ.BNT三点共线得到M,N的朋标满足的关系式,消